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https://doi.org/10.11588/diglit.36433#0006
6 (A. 14)
PAUL STACHEL:
Weil p^ —1 ^ A; + l ist, muß a>L?, und weil 2a^ die größte der Zah-
len 2w,^ ist, muß p^<o^, sein. Mithin liegt p^ zwischen p^i und
U/,, die Grenzen eingeschlossen.
Beispiel. Zur Erläuterung soll die Aufgabe behandelt wer-
den, eine Differenzenreihe von möglichst wenigen Gliedern aufzu-
stellen, für die 5 und 11 Maximalcharakter haben, während dies
für 3 und 7 nicht gilt.
Damit 3 nicht Maximalcharakter hat, darf bei den Teilsummen
(2o,J nur der Rest 0 gegen 3 auftreten, mithin ist 2o,, = 6c^. Gegen
5 müssen 4 Reste auftreten; man wird dafür die kleinsten 0,1,2,3
wählen. Dann sind die Teilsummen den 4 arithmetischen Reihen
30oJ+0, 6,12,18 mit der Maßgabe zu entnehmen, daß aus jeder
Reihe mindestens eine Teilsumme stammt. Gegen die Primzahl 7
dürfen höchstens 5 Reste auftreten. Nun lassen sich die Teil-
summen darstellen in der Form 210cF'+30T + 0, 6,12,18, wo
?r = 0,1,2,...,6 zu setzen ist. Bildet man die Reste gegen 7, so
kommen die Reste 1 und 3 am spätesten vor, und deshalb sollen
sie ausgeschlossen werden. Damit 11 Maximalcharakter hat, muß
man mindestens 10 Teilsummen haben, und diese müssen lauter
verschiedene Reste gegen 11 liefern. Setzt man, um möglichst
kleine Zahlen zu erhalten, versuchsweise 0, so ergibt sich, daß
die 10 ersten Zahlen der verlangten Form
0, 6,12,18, 30, 42, 48, 60, 90,102
bereits gegen 11 alle Reste außer 10 liefern. Folglich hat man in
ihnen die gewünschte Folge von Teilsummen gefunden. Die zu-
gehörige Differenzenfolge wird
(6, 6, 6,12,12, 6,12, 30,12).
Die bei dem Beispiel angestellten Betrachtungen lassen sich
verallgemeinern und führen zu dem Satz, daß es stets möglich
ist, Differenzenfolgen herzustellen, für die eine Reihe von Prim-
zahlen Maximalcharakter hat, während einer anderen Reihe von
Primxatden dieser Charakter nicht zu kommt.
§ 19
Symmetrische Bifferenzenfolgen
Um Lückenzahlfolgen r-ter Stufe (^+2u^) zu untersuchen, deren
Differenzen symmetrisch sind, ist es oft zweckmäßig, deren Mitte
PAUL STACHEL:
Weil p^ —1 ^ A; + l ist, muß a>L?, und weil 2a^ die größte der Zah-
len 2w,^ ist, muß p^<o^, sein. Mithin liegt p^ zwischen p^i und
U/,, die Grenzen eingeschlossen.
Beispiel. Zur Erläuterung soll die Aufgabe behandelt wer-
den, eine Differenzenreihe von möglichst wenigen Gliedern aufzu-
stellen, für die 5 und 11 Maximalcharakter haben, während dies
für 3 und 7 nicht gilt.
Damit 3 nicht Maximalcharakter hat, darf bei den Teilsummen
(2o,J nur der Rest 0 gegen 3 auftreten, mithin ist 2o,, = 6c^. Gegen
5 müssen 4 Reste auftreten; man wird dafür die kleinsten 0,1,2,3
wählen. Dann sind die Teilsummen den 4 arithmetischen Reihen
30oJ+0, 6,12,18 mit der Maßgabe zu entnehmen, daß aus jeder
Reihe mindestens eine Teilsumme stammt. Gegen die Primzahl 7
dürfen höchstens 5 Reste auftreten. Nun lassen sich die Teil-
summen darstellen in der Form 210cF'+30T + 0, 6,12,18, wo
?r = 0,1,2,...,6 zu setzen ist. Bildet man die Reste gegen 7, so
kommen die Reste 1 und 3 am spätesten vor, und deshalb sollen
sie ausgeschlossen werden. Damit 11 Maximalcharakter hat, muß
man mindestens 10 Teilsummen haben, und diese müssen lauter
verschiedene Reste gegen 11 liefern. Setzt man, um möglichst
kleine Zahlen zu erhalten, versuchsweise 0, so ergibt sich, daß
die 10 ersten Zahlen der verlangten Form
0, 6,12,18, 30, 42, 48, 60, 90,102
bereits gegen 11 alle Reste außer 10 liefern. Folglich hat man in
ihnen die gewünschte Folge von Teilsummen gefunden. Die zu-
gehörige Differenzenfolge wird
(6, 6, 6,12,12, 6,12, 30,12).
Die bei dem Beispiel angestellten Betrachtungen lassen sich
verallgemeinern und führen zu dem Satz, daß es stets möglich
ist, Differenzenfolgen herzustellen, für die eine Reihe von Prim-
zahlen Maximalcharakter hat, während einer anderen Reihe von
Primxatden dieser Charakter nicht zu kommt.
§ 19
Symmetrische Bifferenzenfolgen
Um Lückenzahlfolgen r-ter Stufe (^+2u^) zu untersuchen, deren
Differenzen symmetrisch sind, ist es oft zweckmäßig, deren Mitte