Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. III.
(A.14) 7
.TM, zu benutzen, also die Zahl zj, + o%; die Mitte braucht der Folge
nicht anzugehören. Die Fälle A: gerade und A; ungerade sind ge-
trennt zu behandeln.
I. Es sei A: = 2k Dann ist = Folglich bildet die Mitte
ein Glied der Lückenzahlfolge, und diese erscheint in der Form
777, — 2 (p , . . . , 777, — 2 Oi, 77?,, 777, + 2 oj , . . . , 777, + 2 cj ;
dabei hat man
(172) G). = + + i (ü = I,2,...,/)
zu setzen. An die Stelle des Lehrsatzes I tritt jetzt der
LEHRSATZ III. Eine 2Ggliedrige symmetrische
Folge 2di,...,2di ist dann und nur dann als Diffe-
renzenfolge r-ter Stufe zulässig, wenn die Reste der
2^ + 1 Zahlen 0,+ 2cj,...,+2oj bei keiner der 7* Prim-
zahlen 3,5, ...,p, ein vollständiges Restsystem aus-
machen.
Weiter gilt der
LEHRSATZ IV. Bei einer auf der r-ten Stufe zu-
lässigen symmetrischen Differenzenfolge mit ge-
rader Glieder zahl hat keine der Primzahlen 3,5,...,p,
Maximalcharakter.
Beweis. Zwei Zahlen +2o^ und — 2o^ haben nur dann gegen
p^, denselben Rest, wenn o], durch p^ teilbar ist, nämlich den
Rest Null. Da dieser schon bei der ersten Teilsumme 2co^O auf-
trat, ist so F (p„) notwendig ungerade, kann also nicht gleich der
geraden Zahl p^ —i sein.
II. Es sei A = 2^ —I. Hier ist die Mitte der Folge kein Glied
der Lücken zahlfolge, und diese erscheint in der Form
777,-(d; + 20;), 77?,-(d, + 2cj_i), . .., 777,-(d; + 2cQ, 777,-(5;,
777, + (5,, 777, + ((5, + 2m,), . . . , 777, + (d; + 2c(_i), 777, + ((5; + 2oj) ;
dabei hat man
(173)
*3;-l + <5;-2 ^-
(1-2,3,...,;)
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.TM, zu benutzen, also die Zahl zj, + o%; die Mitte braucht der Folge
nicht anzugehören. Die Fälle A: gerade und A; ungerade sind ge-
trennt zu behandeln.
I. Es sei A: = 2k Dann ist = Folglich bildet die Mitte
ein Glied der Lückenzahlfolge, und diese erscheint in der Form
777, — 2 (p , . . . , 777, — 2 Oi, 77?,, 777, + 2 oj , . . . , 777, + 2 cj ;
dabei hat man
(172) G). = + + i (ü = I,2,...,/)
zu setzen. An die Stelle des Lehrsatzes I tritt jetzt der
LEHRSATZ III. Eine 2Ggliedrige symmetrische
Folge 2di,...,2di ist dann und nur dann als Diffe-
renzenfolge r-ter Stufe zulässig, wenn die Reste der
2^ + 1 Zahlen 0,+ 2cj,...,+2oj bei keiner der 7* Prim-
zahlen 3,5, ...,p, ein vollständiges Restsystem aus-
machen.
Weiter gilt der
LEHRSATZ IV. Bei einer auf der r-ten Stufe zu-
lässigen symmetrischen Differenzenfolge mit ge-
rader Glieder zahl hat keine der Primzahlen 3,5,...,p,
Maximalcharakter.
Beweis. Zwei Zahlen +2o^ und — 2o^ haben nur dann gegen
p^, denselben Rest, wenn o], durch p^ teilbar ist, nämlich den
Rest Null. Da dieser schon bei der ersten Teilsumme 2co^O auf-
trat, ist so F (p„) notwendig ungerade, kann also nicht gleich der
geraden Zahl p^ —i sein.
II. Es sei A = 2^ —I. Hier ist die Mitte der Folge kein Glied
der Lücken zahlfolge, und diese erscheint in der Form
777,-(d; + 20;), 77?,-(d, + 2cj_i), . .., 777,-(d; + 2cQ, 777,-(5;,
777, + (5,, 777, + ((5, + 2m,), . . . , 777, + (d; + 2c(_i), 777, + ((5; + 2oj) ;
dabei hat man
(173)
*3;-l + <5;-2 ^-
(1-2,3,...,;)