Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. III.
(A. 14) 9
Das heißt, eine Differenzenfolge, deren Glieder alle denselben Wert
2rPx haben, ist beständig, solange ihre Gliederzahl /c kleiner als
—1 bleibt. Es ist also für 2P^ = 6,30,120 der Reihe nach
R^3,5,9.
§ 20
Erzeugung beständiger Folgen durch Zusammensetzung
Während die Untersuchungen sich bis jetzt im Gebiet der
positiven Lücken- und Primzahlen bewegten, sollen nunmehr auch
negative Zahlen herangezogen werden, eine Erweiterung, auf die
schon in § 2 (Teil I, S. 9) hingewiesen wurde.
Wenn man irgendeine steigende Folge von positiven Prim-
zahlen nimmt, bei der die Anzahl der Glieder kleiner ist als das
erste Glied, so ist nach § 10 (Teil II, S. 15) die zugehörige Diffe-
renzenfolge beständig. Ist bei einer steigenden Folge von /c + 1
negativen und positiven Primzahlen der kleinste der absoluten
Beträge so ist die zugehörige Differenzenfolge sicher bestän-
dig, falls A )> 7? ist. Weil die Lückenzahlen r-ter Stufe alle Prim-
zahlen in sich schließen, die nicht kleiner als p,^ sind, so kann
eine unbeständige Differenzenfolge unter den Primzahlen nur als
singuläre Folge am Anfänge der Zahlenreihe einmal oder
mehrere Male auftreten (vgl. Teil II, S. 9). Dagegen gilt wahr-
scheinlich der Satz, daß jede beständige Differenzenfolge unter
den Primzahlen unbegrenzt oft auftritt. Der einfachste Fall ist die
alte Vermutung, daß es unbegrenzt viele Primzahlzwillinge gebe.
Daß es noch jenseits der hundertsten Million Primzahlzwillinge
gibt, folgt aus der von Dwis durchgeführten Bestimmung der
ersten 99 Primzahlen, die größer als 100000000 sindL Unter dieser
befinden sich nämlich sogar 10 Zwillinge; der größte ist 100001687,
100001689.
Die Heranziehung negativer Primzahlen hat den Vorteil, daß
das Gewicht der mit ihrer Hilfe erhaltenen beständigen Folgen
bei derselben Glieder zahl kleiner ausfallen kann, als wenn man
sich auf positive Primzahlen beschränkt; man wird das leicht
durch Beispiele bestätigen.
i N.W. DAvis, Les nombres premiers de 100000001 ä 100001 699,
Journal de math. (2) 11 (1866), 8. 188.
(A. 14) 9
Das heißt, eine Differenzenfolge, deren Glieder alle denselben Wert
2rPx haben, ist beständig, solange ihre Gliederzahl /c kleiner als
—1 bleibt. Es ist also für 2P^ = 6,30,120 der Reihe nach
R^3,5,9.
§ 20
Erzeugung beständiger Folgen durch Zusammensetzung
Während die Untersuchungen sich bis jetzt im Gebiet der
positiven Lücken- und Primzahlen bewegten, sollen nunmehr auch
negative Zahlen herangezogen werden, eine Erweiterung, auf die
schon in § 2 (Teil I, S. 9) hingewiesen wurde.
Wenn man irgendeine steigende Folge von positiven Prim-
zahlen nimmt, bei der die Anzahl der Glieder kleiner ist als das
erste Glied, so ist nach § 10 (Teil II, S. 15) die zugehörige Diffe-
renzenfolge beständig. Ist bei einer steigenden Folge von /c + 1
negativen und positiven Primzahlen der kleinste der absoluten
Beträge so ist die zugehörige Differenzenfolge sicher bestän-
dig, falls A )> 7? ist. Weil die Lückenzahlen r-ter Stufe alle Prim-
zahlen in sich schließen, die nicht kleiner als p,^ sind, so kann
eine unbeständige Differenzenfolge unter den Primzahlen nur als
singuläre Folge am Anfänge der Zahlenreihe einmal oder
mehrere Male auftreten (vgl. Teil II, S. 9). Dagegen gilt wahr-
scheinlich der Satz, daß jede beständige Differenzenfolge unter
den Primzahlen unbegrenzt oft auftritt. Der einfachste Fall ist die
alte Vermutung, daß es unbegrenzt viele Primzahlzwillinge gebe.
Daß es noch jenseits der hundertsten Million Primzahlzwillinge
gibt, folgt aus der von Dwis durchgeführten Bestimmung der
ersten 99 Primzahlen, die größer als 100000000 sindL Unter dieser
befinden sich nämlich sogar 10 Zwillinge; der größte ist 100001687,
100001689.
Die Heranziehung negativer Primzahlen hat den Vorteil, daß
das Gewicht der mit ihrer Hilfe erhaltenen beständigen Folgen
bei derselben Glieder zahl kleiner ausfallen kann, als wenn man
sich auf positive Primzahlen beschränkt; man wird das leicht
durch Beispiele bestätigen.
i N.W. DAvis, Les nombres premiers de 100000001 ä 100001 699,
Journal de math. (2) 11 (1866), 8. 188.