Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. IIP (A. 14) 11
Wenn für alle in Betracht kommenden Werte von p unter
den Nichtresten und ein Paar gleicher Zahlen vorkommt, so
gehört zu den Werten von 2Z auch der Wert Null. Das gilt im
besonderen für die Zusammensetzung einer beständigen Differen-
zenfolge mit sich selbst. Hier führt jedoch der WArt Null zur ur-
sprünglichen Folge zurück. Der kleinste brauchbare Wert von 2Z
hat in diesem Falle die Form 2y(?, wo y eine ganze Zahl und (7
das Produkt der Primzahlen bedeutet, denen für die Folge Maxi-
malcharakter zukommt; denn bei ihnen ist man gezwungen, in
den Kongruenzen (175) ^ = zu nehmen.
Beispiel I. Die einfachste beständige Differenzenfolge ist
die Folge (2). Hier hat 3 Maximalcharakter, und wenn man die
Folge mit sich selbst zusammensetzt, so wird 2Z = 6y. Der kleinste
Wert 6 führt schon zu der beständigen Folge (2,4,2). Da für sie
3 und 5 Maximalcharakter tragen, wird bei der Zusammensetzung
mit sich selbst 2Z = 30y. Der kleinste Wert 30 führt zu der be-
ständigen Folge (2,4,2,22,2,4,2); vgl. Teil II, S. 48. Weil jetzt
auch 7 Maximalcharakter hat, wird bei wiederholter Zusammen-
setzung mit sich selbst 2Z = 210y. Jetzt liefert für y = l, also
2Z = 210, die Primzahl 11 ein volles Bestsystem, dagegen führt die
Annahme y = 2, also 2Z = 420, zu der beständigen Folge
(2,4, 2,22, 2,4, 2, 382, 2,4, 2, 22,2,4,2).
Auf diese Art kann man fortfahren. Mithin gibt es beständige
Folgen, deren (ungerade) Gliederzahl größer ist als eine gegebene,
beliebig große Zahl, und bei denen alle Glieder ungerader Ordnung
gleich Zwei sind.
VACCAi bemerkt, daß die acht unmittelbar aufeinander
folgenden Primzahlen
9419,21,31,33,37,39,61,63
vier Paare der Differenz 2 bilden, und vermutet, daß es m der
Reihe der Primzahlen Abschnitte gebe, bei denen beliebig viele
Primzahlzwillinge unmittelbar aufeinanderfolgen, also nicht
durch weitere Primzahlen getrennt sind. Hiergegen macht RiPERT^
* G. VAccA, L'Intermediaire des mathematiciens, 10 (1903), 8. 70.
^ L. RtPERT, L'Intermediaire des mathematiciens, 10 (1903), 8. 220.
Wenn für alle in Betracht kommenden Werte von p unter
den Nichtresten und ein Paar gleicher Zahlen vorkommt, so
gehört zu den Werten von 2Z auch der Wert Null. Das gilt im
besonderen für die Zusammensetzung einer beständigen Differen-
zenfolge mit sich selbst. Hier führt jedoch der WArt Null zur ur-
sprünglichen Folge zurück. Der kleinste brauchbare Wert von 2Z
hat in diesem Falle die Form 2y(?, wo y eine ganze Zahl und (7
das Produkt der Primzahlen bedeutet, denen für die Folge Maxi-
malcharakter zukommt; denn bei ihnen ist man gezwungen, in
den Kongruenzen (175) ^ = zu nehmen.
Beispiel I. Die einfachste beständige Differenzenfolge ist
die Folge (2). Hier hat 3 Maximalcharakter, und wenn man die
Folge mit sich selbst zusammensetzt, so wird 2Z = 6y. Der kleinste
Wert 6 führt schon zu der beständigen Folge (2,4,2). Da für sie
3 und 5 Maximalcharakter tragen, wird bei der Zusammensetzung
mit sich selbst 2Z = 30y. Der kleinste Wert 30 führt zu der be-
ständigen Folge (2,4,2,22,2,4,2); vgl. Teil II, S. 48. Weil jetzt
auch 7 Maximalcharakter hat, wird bei wiederholter Zusammen-
setzung mit sich selbst 2Z = 210y. Jetzt liefert für y = l, also
2Z = 210, die Primzahl 11 ein volles Bestsystem, dagegen führt die
Annahme y = 2, also 2Z = 420, zu der beständigen Folge
(2,4, 2,22, 2,4, 2, 382, 2,4, 2, 22,2,4,2).
Auf diese Art kann man fortfahren. Mithin gibt es beständige
Folgen, deren (ungerade) Gliederzahl größer ist als eine gegebene,
beliebig große Zahl, und bei denen alle Glieder ungerader Ordnung
gleich Zwei sind.
VACCAi bemerkt, daß die acht unmittelbar aufeinander
folgenden Primzahlen
9419,21,31,33,37,39,61,63
vier Paare der Differenz 2 bilden, und vermutet, daß es m der
Reihe der Primzahlen Abschnitte gebe, bei denen beliebig viele
Primzahlzwillinge unmittelbar aufeinanderfolgen, also nicht
durch weitere Primzahlen getrennt sind. Hiergegen macht RiPERT^
* G. VAccA, L'Intermediaire des mathematiciens, 10 (1903), 8. 70.
^ L. RtPERT, L'Intermediaire des mathematiciens, 10 (1903), 8. 220.