Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 111. (A. 14) 31
Zum Schluß werde noch mit Rücksicht auf die numerischen
Anwendungen ein einfacher Satz hergeleitet. Wenn die Teilsummen
(2oP) zu einer beständigen Folge gehören, so kann es Vorkommen,
daß die Erweiterung mit einer Einschubzahl 2e zu einer unbestän-
digen Folge führt. Die Formel (185) zeigt, daß dies dann und nur
dann geschieht, wenn für eine der Primzahlen die Anzahl
z(^) = ^ —2 wird. Dann läßt sich beweisen, daß auch die Erweite-
rung mit einer Einschubzahl 2 g', die kongruent 2s gegen ^ ist, zu
einer unbeständigen Folge führt. Weil nämlich bei allen Prim-
zahlen g keine der ursprünglichen Teilsummen (2dJ kongruent
2 s gegen war, so gilt dasselbe für 2s'; mithin ist nach Lehr-
satz XI, wenn sich ^'(p) auf das Dreieck A(2o„, 2s) bezieht,
^'(^) ^z(^) + l^=^ —1, und der Multiplikator erster Art für
<y-W'(</) —1, verschwindet.
§ 23
Zusammenhang zwischen den G- und den H-Funktionen
Daß zwischen den G- und den TZ-Funktionen ein enger Zu-
sammenhang bestehe, hatte ich von Anfang an vermutet und
später auch für einige besondere Fälle aufgezeigt (vgl. Teil 11,
S. 24 und 39). Den Ansatz zur allgemeinen Untersuchung ent-
deckt zu haben, ist ein Verdienst von WEiNREicH, dessen Mit-
teilungen im folgenden benutzt worden sind.
Es sei 2di,..., 2di eine 4-gliedrige symmetrische Differenzen-
folge, also 2d^ = 2d^_^^i- Dann haben die 4+1 Summen 2cr„ + 2c^_„
denselben Wert, nämlich 2n^, und umgekehrt, wenn das der Fall
ist, wird 2d^, = 2d^_^^i, und die Folge ist symmetrisch.
Hat man zwei Lückenzahlfolgen r-ter Stufe ^,+ 2^ und w,+ 2o,,,
schreibt die zweite in umgekehrter Folge und addiert die ent-
sprechenden Glieder beider Folgen, so haben die Summen
u, + w,+ 2u,; + 2c^_,; den gemeinsamen Wert ^, + ^, + 2^, und man
erhält eine 4-fache Darstellung der Zahl 2n = ^ + ^ + 2cr^, als
Summe mittels Lückenzahlfolgen r-ter Stufe, denen die gegebenen
symmetrischen Differenzen 2di, ...,2d zukommen (vgl. Teil II,
S. 38). Die Zahl 2% läßt sich aber auch, und das ist der Gedanke
WEiNREicHs, auf 4 Arten als eine Differenz von Lückenzahlen
r-ter Stufe auffassen. Wenn man nämlich = — 2c^ setzt,
so wird
Zum Schluß werde noch mit Rücksicht auf die numerischen
Anwendungen ein einfacher Satz hergeleitet. Wenn die Teilsummen
(2oP) zu einer beständigen Folge gehören, so kann es Vorkommen,
daß die Erweiterung mit einer Einschubzahl 2e zu einer unbestän-
digen Folge führt. Die Formel (185) zeigt, daß dies dann und nur
dann geschieht, wenn für eine der Primzahlen die Anzahl
z(^) = ^ —2 wird. Dann läßt sich beweisen, daß auch die Erweite-
rung mit einer Einschubzahl 2 g', die kongruent 2s gegen ^ ist, zu
einer unbeständigen Folge führt. Weil nämlich bei allen Prim-
zahlen g keine der ursprünglichen Teilsummen (2dJ kongruent
2 s gegen war, so gilt dasselbe für 2s'; mithin ist nach Lehr-
satz XI, wenn sich ^'(p) auf das Dreieck A(2o„, 2s) bezieht,
^'(^) ^z(^) + l^=^ —1, und der Multiplikator erster Art für
<y-W'(</) —1, verschwindet.
§ 23
Zusammenhang zwischen den G- und den H-Funktionen
Daß zwischen den G- und den TZ-Funktionen ein enger Zu-
sammenhang bestehe, hatte ich von Anfang an vermutet und
später auch für einige besondere Fälle aufgezeigt (vgl. Teil 11,
S. 24 und 39). Den Ansatz zur allgemeinen Untersuchung ent-
deckt zu haben, ist ein Verdienst von WEiNREicH, dessen Mit-
teilungen im folgenden benutzt worden sind.
Es sei 2di,..., 2di eine 4-gliedrige symmetrische Differenzen-
folge, also 2d^ = 2d^_^^i- Dann haben die 4+1 Summen 2cr„ + 2c^_„
denselben Wert, nämlich 2n^, und umgekehrt, wenn das der Fall
ist, wird 2d^, = 2d^_^^i, und die Folge ist symmetrisch.
Hat man zwei Lückenzahlfolgen r-ter Stufe ^,+ 2^ und w,+ 2o,,,
schreibt die zweite in umgekehrter Folge und addiert die ent-
sprechenden Glieder beider Folgen, so haben die Summen
u, + w,+ 2u,; + 2c^_,; den gemeinsamen Wert ^, + ^, + 2^, und man
erhält eine 4-fache Darstellung der Zahl 2n = ^ + ^ + 2cr^, als
Summe mittels Lückenzahlfolgen r-ter Stufe, denen die gegebenen
symmetrischen Differenzen 2di, ...,2d zukommen (vgl. Teil II,
S. 38). Die Zahl 2% läßt sich aber auch, und das ist der Gedanke
WEiNREicHs, auf 4 Arten als eine Differenz von Lückenzahlen
r-ter Stufe auffassen. Wenn man nämlich = — 2c^ setzt,
so wird