PAUL STÄCKEL;
(A. 14)
(188)
= (^+2aj - (w^ + 2^) ;
die zweite Folge besteht aus negativen Lückenzahlen mit den ge
gebenen Differenzen 2^,...,2^, die zwischen —2a^ und — zc,
liegen. Mithin ist jeder der betrachteten Zc-fachen Darstellungen
der Zahl 2% eine Folge von 2/c + 2 Lückenzahlen r-ter Stufe zu-
geordnet: w^ + 2a^,^ + 2a^, deren Differenzen
sind; die zugehörigen Teilsummen haben die Werte
2(?o, 2(?i,..2(7^, 2n, 2n + 2<?i, 2n + 2(?2,..., 2n + 2o;,.
Hat man umgekehrt eine Folge von 2/c + 2 Lückenzahlen r-ter
Stufe, denen diese Differenzen und Teilsummen zukommen, und
liegt die Anfangszahl wj. im Abschnitt von —2^—2^ bis — 2o^,
so liegt w,— —20^ zwischen 0 und 2n, und man erhält eine
Darstellung der Zahl 2% als Summe der positiven Lückenzahlen
w, und f, + 2o),; hieraus ergeben sich dann alle k Darstellungen
von 2% als Summe mittels der A-gliedrigen Lückenzahlfolgen r-ter
Stufe + 2(7,, und w, + 2a^. Folglich gibt es genau soviel ver-
schiedene Darstellungen der verlangten Art, als (2A: + 2)-gliediige
Lückenzahlfolgen mit den vorher gegebenen Differenzen vorhanden
sind, deren Anfangszahlen im Abschnitt von —2^—2^ bis — 2^
liegen.
Ein Punkt ist noch zu erörtern. Bei der Erklärung der An-
zahl der /c-fachen Darstellungen, die jetzt mit 6^*)(2n) bezeich-
net werden möge, sollten Darstellungen als verschieden angesehen
werden, wenn von w, verschieden ist; dagegen sollte eine
A:-fache Darstellung mit zj, = w, nur einmal zählen. Diese Forde-
rung ist aber erfüllt; denn ist von w, verschieden, so führt die
Identität
(188')
2n = (w, + 2c„) - (z^ + 2a^)
in der z^ = —z?, —2<^ zu setzen ist, zu der (2/c+2)-gliedrigen Folge
z^ + 2o„, w, + 2a„, die mit der Lückenzahl — — 2^ beginnt und
von der vorhergehenden Folge z^ + 2a,,, + 2^ verschieden ist.
Hiermit ist nachgewiesen, daß die Formel
(A. 14)
(188)
= (^+2aj - (w^ + 2^) ;
die zweite Folge besteht aus negativen Lückenzahlen mit den ge
gebenen Differenzen 2^,...,2^, die zwischen —2a^ und — zc,
liegen. Mithin ist jeder der betrachteten Zc-fachen Darstellungen
der Zahl 2% eine Folge von 2/c + 2 Lückenzahlen r-ter Stufe zu-
geordnet: w^ + 2a^,^ + 2a^, deren Differenzen
sind; die zugehörigen Teilsummen haben die Werte
2(?o, 2(?i,..2(7^, 2n, 2n + 2<?i, 2n + 2(?2,..., 2n + 2o;,.
Hat man umgekehrt eine Folge von 2/c + 2 Lückenzahlen r-ter
Stufe, denen diese Differenzen und Teilsummen zukommen, und
liegt die Anfangszahl wj. im Abschnitt von —2^—2^ bis — 2o^,
so liegt w,— —20^ zwischen 0 und 2n, und man erhält eine
Darstellung der Zahl 2% als Summe der positiven Lückenzahlen
w, und f, + 2o),; hieraus ergeben sich dann alle k Darstellungen
von 2% als Summe mittels der A-gliedrigen Lückenzahlfolgen r-ter
Stufe + 2(7,, und w, + 2a^. Folglich gibt es genau soviel ver-
schiedene Darstellungen der verlangten Art, als (2A: + 2)-gliediige
Lückenzahlfolgen mit den vorher gegebenen Differenzen vorhanden
sind, deren Anfangszahlen im Abschnitt von —2^—2^ bis — 2^
liegen.
Ein Punkt ist noch zu erörtern. Bei der Erklärung der An-
zahl der /c-fachen Darstellungen, die jetzt mit 6^*)(2n) bezeich-
net werden möge, sollten Darstellungen als verschieden angesehen
werden, wenn von w, verschieden ist; dagegen sollte eine
A:-fache Darstellung mit zj, = w, nur einmal zählen. Diese Forde-
rung ist aber erfüllt; denn ist von w, verschieden, so führt die
Identität
(188')
2n = (w, + 2c„) - (z^ + 2a^)
in der z^ = —z?, —2<^ zu setzen ist, zu der (2/c+2)-gliedrigen Folge
z^ + 2o„, w, + 2a„, die mit der Lückenzahl — — 2^ beginnt und
von der vorhergehenden Folge z^ + 2a,,, + 2^ verschieden ist.
Hiermit ist nachgewiesen, daß die Formel