Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. 111. (A. 14) 37
führung im einzelnen kann um so eher unterbleiben, als die fol-
genden Untersuchungen Mittel gewähren werden, schneller zum
Ziele zu gelangen; wir werden in § 25 auf dieses Beispiel zurück-
kommen.
Wie die Tafel 19 zeigt, besteht das wirksame Dreieck
A(2cr„, 27! + 2u,,) aus zwei Dreiecken mit je A: Zeilen und Spalten
und einem Quadrat von A+l Zeilen und Spalten. Die beiden
Dreiecke, die als das obere und das untere unterschieden werden
mögen, sind identisch mit dem Dreieck A(2o,J. Das Quadrat
Q(2^, 271 + 2(7^) enthält die (/c + l)^ Zahlen 27i + 2w^; das Zeichen
zU soll andeuten, daß die Zeiger %, 2 über alle Zahlenpaare x<2
zu erstrecken sind, sodaß zu den Zahlen 2w^^ die Zahlen 2zn^ = 0
hinzukommen.
Die Anzahl der Zeilen des Dreiecks A(2u^, 2 77 + 2+,,), die den
Primteiler p nicht enthalten, werde mit z(p) bezeichnet; die ent-
sprechende Anzahl für das Dreieck A(2u^) heiße ^(p). Bei der
Bestimmung von z(p) ist es zweckmäßig, die ungeraden Prim-
zahlen in vier Klassen zu teilen, je nachdem
HI. ^<p<2^,
IV. p < (7^,
1. p > 77 + (7^, '
il. 2(7^<p<^71+(7R,
ist. Wie die Tafel 20 für die beständige Differenzenfolge der Ge-
wichte von 2 bis 12 zeigt, gilt vom Gewicht 4 ab die Ungleich-
heit 2o^>2/c + 2. Wenn man also von dem Fall der Zwillings-
darstellungen absieht, kann es Primzahlen erster Art, <2/c + 2,
nur in der dritten und vierten Klasse geben; die beiden Arten zu
trennen wird jedoch erst nötig, wenn man die Multiplikatoren
auf stellt.
Erste Klasse. Primzahlen größer als 77 + ^ sind in keiner
Zahl des Dreiecks A (2 n„, 277+2(7,.) enthalten; mithin ist z(p) = 2/c+l,
und es gibt jenseits der Schranke 77 +(7% keine wirksamen Prim-
zahlen. Man hat also
(p >77 + (7^).
I. dG(p) = 1
Zweite Klasse. Primzahlen größer als 2(7^ sind in keiner
Zahl des Dreiecks A(2(7„) enthalten, sodaß für sie nur das Qua-
führung im einzelnen kann um so eher unterbleiben, als die fol-
genden Untersuchungen Mittel gewähren werden, schneller zum
Ziele zu gelangen; wir werden in § 25 auf dieses Beispiel zurück-
kommen.
Wie die Tafel 19 zeigt, besteht das wirksame Dreieck
A(2cr„, 27! + 2u,,) aus zwei Dreiecken mit je A: Zeilen und Spalten
und einem Quadrat von A+l Zeilen und Spalten. Die beiden
Dreiecke, die als das obere und das untere unterschieden werden
mögen, sind identisch mit dem Dreieck A(2o,J. Das Quadrat
Q(2^, 271 + 2(7^) enthält die (/c + l)^ Zahlen 27i + 2w^; das Zeichen
zU soll andeuten, daß die Zeiger %, 2 über alle Zahlenpaare x<2
zu erstrecken sind, sodaß zu den Zahlen 2w^^ die Zahlen 2zn^ = 0
hinzukommen.
Die Anzahl der Zeilen des Dreiecks A(2u^, 2 77 + 2+,,), die den
Primteiler p nicht enthalten, werde mit z(p) bezeichnet; die ent-
sprechende Anzahl für das Dreieck A(2u^) heiße ^(p). Bei der
Bestimmung von z(p) ist es zweckmäßig, die ungeraden Prim-
zahlen in vier Klassen zu teilen, je nachdem
HI. ^<p<2^,
IV. p < (7^,
1. p > 77 + (7^, '
il. 2(7^<p<^71+(7R,
ist. Wie die Tafel 20 für die beständige Differenzenfolge der Ge-
wichte von 2 bis 12 zeigt, gilt vom Gewicht 4 ab die Ungleich-
heit 2o^>2/c + 2. Wenn man also von dem Fall der Zwillings-
darstellungen absieht, kann es Primzahlen erster Art, <2/c + 2,
nur in der dritten und vierten Klasse geben; die beiden Arten zu
trennen wird jedoch erst nötig, wenn man die Multiplikatoren
auf stellt.
Erste Klasse. Primzahlen größer als 77 + ^ sind in keiner
Zahl des Dreiecks A (2 n„, 277+2(7,.) enthalten; mithin ist z(p) = 2/c+l,
und es gibt jenseits der Schranke 77 +(7% keine wirksamen Prim-
zahlen. Man hat also
(p >77 + (7^).
I. dG(p) = 1
Zweite Klasse. Primzahlen größer als 2(7^ sind in keiner
Zahl des Dreiecks A(2(7„) enthalten, sodaß für sie nur das Qua-