Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. IIP (A. 14) 41
so ist wegen r > A auch p, > %, das heißt, 2zp^„ steht in einer spä-
teren Spalte als So geht es weiter. Wenn daher alle /c Zeilen
des Dreiecks A(2a^) die Zahl 2% enthalten sollen, so muß immer
das erste Element in ihnen gleich 2a sein, und das besagen die
Gleichungen (194).
Dritte Klasse. Auch die Primzahlen der dritten Klasse
können im Dreieck A(2a,J nicht als Teiler auftreten. In einer
Zeile des Quadrats Q(2a^, 277 + 2a^) findet sich eine solche Prim-
zahl höchstens einmal als Teiler; denn in einem Abschnitt von
a^ + 1 geraden Zahlen kann höchstens eine durch p^a^ + 1 teilbar
sein. Hat keine der Zahlen 277 + 2 den Teiler p, so ist wieder
Ist 277 selbst durch p teilbar, so ist
/x p — Ac— 1 /^ +1
^ p-2^-2 p-2^-2
ist 27?—2a durch p teilbar, 0<2a<p, so gilt dasselbe von
277 +(2p —2a), und ist 277 +2a durch p teilbar, so gilt dasselbe
von 277 —(2p —2a). Die Zahlen 277±(2p—2a) kommen nur in
Betracht, wenn 2p —2a<^2a^ ist; hieraus folgt a>p —a^, und
das ist mit den Bedingungen 2a<p und p<2a^ verträglich. Ist
zum Beispiel p = 23 und a^ = 12, so darf man 2a = 22 nehmen,
und es wird 2p —2a = 24; dagegen wird für 2a = 20 schon
2p —2a = 26 >2a^. Außer den Zahlen 277 + 2a können also auch
die Zahlen 277 +(2p —2a) unter den Zahlen 277 + 2^^ Vorkommen
und den Primteiler p liefern. Damit sind aber alle Zahlen 277±2w^
erschöpft, die den Teiler p haben, denn bereits 4p —2a wird größer
als 3p und erst recht als 2a^. Bedenkt man noch, daß p(0) = /c + l
und p(2p) = 0 ist, so wird allgemein z(p) = 2^+l-y(2n)-p(2p-2n),
und es ergeben sich schließlich die Gleichungen
(llfi) Tfi(p') = p'+?/(2a) + y(2p'—2a) —(2/c + 2) (p'<2A: + 2);
("D
-^a(p') = I' wenn keine der Zahlen 277 + 2^+; durch p" teil-
bar,
,, / "\_C'+!/(2a) + y(+'-2a)-2A-2_, y(2a) + y(2p"-2a)
p"-2A-2 " p"-2A-2
wenn 27? —2a oder 277 +2a durch p" teilbar ist.
so ist wegen r > A auch p, > %, das heißt, 2zp^„ steht in einer spä-
teren Spalte als So geht es weiter. Wenn daher alle /c Zeilen
des Dreiecks A(2a^) die Zahl 2% enthalten sollen, so muß immer
das erste Element in ihnen gleich 2a sein, und das besagen die
Gleichungen (194).
Dritte Klasse. Auch die Primzahlen der dritten Klasse
können im Dreieck A(2a,J nicht als Teiler auftreten. In einer
Zeile des Quadrats Q(2a^, 277 + 2a^) findet sich eine solche Prim-
zahl höchstens einmal als Teiler; denn in einem Abschnitt von
a^ + 1 geraden Zahlen kann höchstens eine durch p^a^ + 1 teilbar
sein. Hat keine der Zahlen 277 + 2 den Teiler p, so ist wieder
Ist 277 selbst durch p teilbar, so ist
/x p — Ac— 1 /^ +1
^ p-2^-2 p-2^-2
ist 27?—2a durch p teilbar, 0<2a<p, so gilt dasselbe von
277 +(2p —2a), und ist 277 +2a durch p teilbar, so gilt dasselbe
von 277 —(2p —2a). Die Zahlen 277±(2p—2a) kommen nur in
Betracht, wenn 2p —2a<^2a^ ist; hieraus folgt a>p —a^, und
das ist mit den Bedingungen 2a<p und p<2a^ verträglich. Ist
zum Beispiel p = 23 und a^ = 12, so darf man 2a = 22 nehmen,
und es wird 2p —2a = 24; dagegen wird für 2a = 20 schon
2p —2a = 26 >2a^. Außer den Zahlen 277 + 2a können also auch
die Zahlen 277 +(2p —2a) unter den Zahlen 277 + 2^^ Vorkommen
und den Primteiler p liefern. Damit sind aber alle Zahlen 277±2w^
erschöpft, die den Teiler p haben, denn bereits 4p —2a wird größer
als 3p und erst recht als 2a^. Bedenkt man noch, daß p(0) = /c + l
und p(2p) = 0 ist, so wird allgemein z(p) = 2^+l-y(2n)-p(2p-2n),
und es ergeben sich schließlich die Gleichungen
(llfi) Tfi(p') = p'+?/(2a) + y(2p'—2a) —(2/c + 2) (p'<2A: + 2);
("D
-^a(p') = I' wenn keine der Zahlen 277 + 2^+; durch p" teil-
bar,
,, / "\_C'+!/(2a) + y(+'-2a)-2A-2_, y(2a) + y(2p"-2a)
p"-2A-2 " p"-2A-2
wenn 27? —2a oder 277 +2a durch p" teilbar ist.