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https://doi.org/10.11588/diglit.36433#0055
Summen und Differenzen ungerader Primzahlen. III. (A. 14) 55
Die Summe ist über alie Folgen von Urdifferenzen zu erstrecken,
die aus den Differenzen (2d^) durch Zerlegung hervorgehen. Jeder
solchen Zerlegung entspricht eine Gleichung
(130") = v(2.)) + .
und es entsteht so ein System von Gleichungen, bei dem auf den
linken Seiten die //-Funktionen für die Z-gliedrige Folge (2d,J, die
(Z + l)-gliedrigen Zerlegungen, die (A;+2)-gliedrigen Zerlegungen usw.
stehen, bis man schließlich bei unzerlegbaren Differenzenfolgen
anlangt; bei diesen stehen auf der rechten Seite allein die ent-
sprechenden //-Funktionen selbst. Wenn man die Reihe der Glei-
chungen rückwärts durchläuft, so wird (vgl. Teil II, S.36) schließ-
lich /7^(2u,J eine lineare, homogene, ganzzahlige Funktion aller
//-Funktionen, die zu den Zerlegungen der Folge (2<5„) gehören;
dabei hat Z7,, (2u„) den Koeffizienten Eins. Es soll jetzt gezeigt
werden, wie man den Ausdruck für W(2<h) wirklich herstellen
kann; dabei wird sich der in § 22 eingeführte Begriff der Er-
weiterung einer Folge von Teilsummen durch Einschieben als
nützlich erweisen.
Statt die Differenzenfolgen zu zerlegen, kann man die Folgen
der Tcilsummen erweitern. Man erweitere zunächst die Folge (2cr^)
durch eine Einschubzahl 2^, die von den Teilsummen (2cr„) ver-
schieden und kleiner als 2u% ist; das gibt, wenn 2u% —= ge-
setzt wird, ??7 Möglichkeiten. Es ist erlaubt, alle hieraus ent-
springenden. Differenzenfolgen zu den Zerlegungen der Folge (2d,.)
zu rechnen, wenn man festsetzt, daß das Zeichen W(2<v) bei un-
zulässigen Folgen (2cc,) den Wert Null haben soll. Nunmehr er-
weitere man die Folge (2cr„,2ei) durch Einschieben einer Zahl 2^,
die von den Teilsummen (2cr^) verschieden, größer als 2^ und
kleiner als 2u^ ist. Das gibt Möglichkeiten. So fortfahrend
kommt man zu Folgen (2cr„, 2^, 2cg, ..., 2a;), in denen
2ei<2e2<"'<2^_i<2E;<2ua ist; hierfür gibt es
Möglich-
keiten. Das Verfahren endet jedenfalls, wenn /=777 geworden ist.
In Wirklichkeit braucht man nicht soweit zu gehen, weil bei einer
zulässigen Differenzenfolge niemals zwei Zweier hintereinander
Vorkommen dürfen.
Die Summe ist über alie Folgen von Urdifferenzen zu erstrecken,
die aus den Differenzen (2d^) durch Zerlegung hervorgehen. Jeder
solchen Zerlegung entspricht eine Gleichung
(130") = v(2.)) + .
und es entsteht so ein System von Gleichungen, bei dem auf den
linken Seiten die //-Funktionen für die Z-gliedrige Folge (2d,J, die
(Z + l)-gliedrigen Zerlegungen, die (A;+2)-gliedrigen Zerlegungen usw.
stehen, bis man schließlich bei unzerlegbaren Differenzenfolgen
anlangt; bei diesen stehen auf der rechten Seite allein die ent-
sprechenden //-Funktionen selbst. Wenn man die Reihe der Glei-
chungen rückwärts durchläuft, so wird (vgl. Teil II, S.36) schließ-
lich /7^(2u,J eine lineare, homogene, ganzzahlige Funktion aller
//-Funktionen, die zu den Zerlegungen der Folge (2<5„) gehören;
dabei hat Z7,, (2u„) den Koeffizienten Eins. Es soll jetzt gezeigt
werden, wie man den Ausdruck für W(2<h) wirklich herstellen
kann; dabei wird sich der in § 22 eingeführte Begriff der Er-
weiterung einer Folge von Teilsummen durch Einschieben als
nützlich erweisen.
Statt die Differenzenfolgen zu zerlegen, kann man die Folgen
der Tcilsummen erweitern. Man erweitere zunächst die Folge (2cr^)
durch eine Einschubzahl 2^, die von den Teilsummen (2cr„) ver-
schieden und kleiner als 2u% ist; das gibt, wenn 2u% —= ge-
setzt wird, ??7 Möglichkeiten. Es ist erlaubt, alle hieraus ent-
springenden. Differenzenfolgen zu den Zerlegungen der Folge (2d,.)
zu rechnen, wenn man festsetzt, daß das Zeichen W(2<v) bei un-
zulässigen Folgen (2cc,) den Wert Null haben soll. Nunmehr er-
weitere man die Folge (2cr„,2ei) durch Einschieben einer Zahl 2^,
die von den Teilsummen (2cr^) verschieden, größer als 2^ und
kleiner als 2u^ ist. Das gibt Möglichkeiten. So fortfahrend
kommt man zu Folgen (2cr„, 2^, 2cg, ..., 2a;), in denen
2ei<2e2<"'<2^_i<2E;<2ua ist; hierfür gibt es
Möglich-
keiten. Das Verfahren endet jedenfalls, wenn /=777 geworden ist.
In Wirklichkeit braucht man nicht soweit zu gehen, weil bei einer
zulässigen Differenzenfolge niemals zwei Zweier hintereinander
Vorkommen dürfen.