60 (A. 14)
PAUL STÄCKEL:
Die Gleichung (188) in § 22 ermöglicht es, schließlich auch 6*(2a„)
vor die Klammer zu setzen, denn hiernach ist
(BP) F(2.„2,„3^...,2t,) - F(2.,).n(2.„2t„3^...,2<,):
der zweite Faktor ist ein Produkt, zu dessen Herstellung die
Kenntnis der Funktion z(p) für die Primzahlen ^i,^, ...,yp ge-
nügt. Man erhält so die endgültige Formel
(214)
(/(2nJ^/i(2^)
+ 17
("2-'h)
TT 72,> — 77-,
77r, — 77
2 "U
En(2a^,2aJ
A+2 / \
(77 ^ - 77^)
(772-72i)
xn(2a^, 2ei, 2gg) -
(-l)'B
("2 - "p
Sn(2.„2e„2^,...,2.,) +
Für die asymptotische Darstellung der Funktion (/(2aJ war
m § 15 (Teil II, S. 38) eine andere Formel (Gleichung 147) ge-
geben worden. Diese muß durch die Gleichung (214) ersetzt wer-
den. Wenn man nämlich von den Lückenzahlen zu den Prim-
zahlen übergeht, sind in der Gleichung (139) die Glieder der rech-
ten Seite der Reihe nach mit den Potenzen der Dichtigkeit der
Primzahlen ..., zu multiplizieren und dann ist
der Grenzübergang auszuführen; irrtümlicherweise ist jedoch dort
der Faktor für alle Glieder genommen worden.
Der Nutzen der Gleichung (214) liegt darin, daß man aus den
Primzahltafeln die Urdifferenzen der Primzahlen unmittelbar
entnehmen und so die wahren Werte der (/-Funktionen feststellen
kann, während die Ermittlung der wahren Werte der .//-Funktio-
nen ein mühsames Geschäft ist. Vergleicht man nun die wahren
Werte der (/-Funktionen mit den Näherungswerten, die sich er-
geben, wenn man auf der rechten Seite der Gleichung (208) die
((-Funktionen durch die Näherungsausdrücke (98') ersetzt, so ge-
winnt man damit zugleich eine Prüfung der Formel (98'). Über
die Rechnungen, die WEiNREicH für die (/-Funktionen ausgeführt
trat, soll im nächsten Paragraphen berichtet werden.
PAUL STÄCKEL:
Die Gleichung (188) in § 22 ermöglicht es, schließlich auch 6*(2a„)
vor die Klammer zu setzen, denn hiernach ist
(BP) F(2.„2,„3^...,2t,) - F(2.,).n(2.„2t„3^...,2<,):
der zweite Faktor ist ein Produkt, zu dessen Herstellung die
Kenntnis der Funktion z(p) für die Primzahlen ^i,^, ...,yp ge-
nügt. Man erhält so die endgültige Formel
(214)
(/(2nJ^/i(2^)
+ 17
("2-'h)
TT 72,> — 77-,
77r, — 77
2 "U
En(2a^,2aJ
A+2 / \
(77 ^ - 77^)
(772-72i)
xn(2a^, 2ei, 2gg) -
(-l)'B
("2 - "p
Sn(2.„2e„2^,...,2.,) +
Für die asymptotische Darstellung der Funktion (/(2aJ war
m § 15 (Teil II, S. 38) eine andere Formel (Gleichung 147) ge-
geben worden. Diese muß durch die Gleichung (214) ersetzt wer-
den. Wenn man nämlich von den Lückenzahlen zu den Prim-
zahlen übergeht, sind in der Gleichung (139) die Glieder der rech-
ten Seite der Reihe nach mit den Potenzen der Dichtigkeit der
Primzahlen ..., zu multiplizieren und dann ist
der Grenzübergang auszuführen; irrtümlicherweise ist jedoch dort
der Faktor für alle Glieder genommen worden.
Der Nutzen der Gleichung (214) liegt darin, daß man aus den
Primzahltafeln die Urdifferenzen der Primzahlen unmittelbar
entnehmen und so die wahren Werte der (/-Funktionen feststellen
kann, während die Ermittlung der wahren Werte der .//-Funktio-
nen ein mühsames Geschäft ist. Vergleicht man nun die wahren
Werte der (/-Funktionen mit den Näherungswerten, die sich er-
geben, wenn man auf der rechten Seite der Gleichung (208) die
((-Funktionen durch die Näherungsausdrücke (98') ersetzt, so ge-
winnt man damit zugleich eine Prüfung der Formel (98'). Über
die Rechnungen, die WEiNREicH für die (/-Funktionen ausgeführt
trat, soll im nächsten Paragraphen berichtet werden.