Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integrale linearer Differentialgleichungen mit Parameter. II. (A. 15) 25

wählen, daß wir unter J gerade die Funktion verstehen, die
auf der linken Seite von (57.) steht, und dann für J*z,-_i
die asymptotischen Ausdrücke (37.), (57.), (47.) in (38.) einsetzen,
so entstehen für y^, yg, ..., W nach den Rechengesetzen für asym-
ptotische Reihen gewisse gleichmäßig asymptotische Entwicklun-
gen, die formal genau mit den Ausdrücken (35.) übereinstimmen,
von denen wir ausgegangen waren; also ist

'DA) n „
(58.) (fürf-^m)
gleichmäßig im Intervall %<(%<: h.
Wir bezeichnen das so gewonnene Integralsystem y^ mit yjF
Dann ist nur noch zu zeigen, daß die n Integralsysteme linear
unabhängig sind. Rildet. man aber die Determinante

D .
. yf,"
y!"
D .
. y.':"

so ist diese für gleichmäßig asymptotisch gleich einem
Ausdruck der Form

wobei

< f (/l + A + "'+/.) „

^1,1,0
^1,2,0 ' '
^,1,0
^kt,2,0 ' '

Ü,1,0 ^2,2,0

Ot,M, o

Die obige Determinante ist also für hinreichend große Werte
von ; im ganzen Intervall von Null verschieden; d. h.
die 7? Integralsysteme sind linear unabhängig. Damit ist der Be-
weis von Satz 2 beendet.