Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integrale linearer Differentialgleichungen mit Parameter. II. (A. 15) 31

Zum Beweis der beiden Theoreme transformiere man die
Differentialgleichung (59.), indem man wie in meiner I. Abhand-
lung setzt:

(70.) .

:?/ = Z



^ Z A G

d

= ^



7=1

Wenn man diese Gleichungen differenziert und dabei (59.) be-
6^ Z
rücksichtigt, erhält man durch Auflösung nach —4 eha Gleichungs-
da:
System der Gestalt

(71.)

dar

G + dA -

%=1

Für die ^ ^ ergeben sich gleichmäßig im Intervall % asym-
ptotische Entwicklungen der Form

p = 0
wobei die Koeffizienten ^ ^(tr) unendlich oft differenzierbar sind.
Einem Ausdruck, der der Gleichung (59.) formal Genüge
leistet, entsprechen nun vermöge (70.) gewisse Ausdrücke für
Zi, ...,z„, die das System (71.) formal befriedigen. Und umgekehrt
entspricht jeder formalen Lösung von (71.) auch eine formale
Lösung von (59.). Nun hat aber das System (71.) genau die in
§ 3 und § 4 behandelte Gestalt. Unter den im Satz 1 und 2 an-
gegebenen Voraussetzungen gibt es also Integrale, die den forma-
len Lösungen asymptotisch gleich sind, und zwar gleichmäßig für
a < ,r; < /j. Daraus folgen unmittelbar die obigen beiden Theoreme.