Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

22 (A.17)

LEO KOENIGSBERGER:

vorauszusetzen, direkt gezeigt werden, daß, wenn keine der Größen
eine positive ganze Zahl ist, jene Differentialgleichun-
gen jedenfalls ein solches System eindeutiger, durch konvergente
Potenzreihen darstellbarer Integrale von endlicher Ordnungszahl
besitzen, daß dies aber auch der Fall sein kann, wenn die M zum
Teil positiv ganz sind.
Setzen wir nämlich mit Benutzung der früher gebrauchten
Bezeichnungen die Differentialgleichungen (9) in die Form
(45) u MpXp - YpU + (u,Xi,X2,...X^ + (u,X^,X2,...xjy + .-.
(p = 1,2,... n) ,

und suchen diesen Gleichungen formal durch die Potenzreihen zu
genügen:

(46)

Xi = Oi u + C12 cF + c^ cP + - - -
Xg = Cgi U + C-22 lF + Cgg lF + - - -
Xn - c„iU + (y2iF + cygEF + ...

so erhält man die zu befriedigenden Beziehungen

(47)

(i — Mp) Cpi u + (2 — Alp) Cp g iü + (3 — Alp) c.p g u" + - - -
= Yp u + (o, Cu u + c^ u" + - - -, Cgi u + egg iF + - - -,.)fF
+ (u, C^ U + C^2 lF + . - - , Cgi u + C22 U- + - - - ,.)3^ + '"
(p = 1, 2, ... n)

und somit durch Identifizierung der Koeffizienten gleich hoher
u-Potenzen
(l ^p) Cpi — Yp
"Mp) Cp^ = gp^ (c^, Cgt, Cg^, . . . C,^, Cig , Cg2 , Cg2, - . - (Y2) - - -
* * * ! Cj g_i, Cg^_i , C-3^_i s - - - C-n^_i)
(p = 1, 2,... n, O = 2,3, 4,...)

-oder durch sukzessive Berechnung der c