Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die HAMnnomschen Differentialgleichungen der Dynamik. IV. (A.17) 43

was mit dem oben gefundenen Resultat übereinstimmt, daß,
wenn keine der Zahlen Mi, Mg, ... M„ positiv ganz ist — in welchem
Falle ein und nur ein in u = 0 verschwindendes eindeutiges Inte-
gralsystem existiert —, nur dann noch, und zwar unendhcli viele,
in u^=0 verschwindende Integralsysteme existieren, deren Elemente
sich in eine Potenzreihe von u, u^', u^', ... rP*" entwickeln lassen,
also wie aus der Form (70) hervorgeht, von einer endlichen Ord-
nung Null werden, wenn die reellen Teile sämtlicher Größen
Mi,Mg,...M^ positiv und von Null verschieden sind.
Für den Fall, daß einige der Größen M: Mi,Mg,...M^ positiv
ganz sind, und die reellen Teile der übrigen M^^, M^g,...M^
positiv und von Null verschieden sind, also wieder keine der Grö-
ßen Ali, Mg,... M„ einen reellen Teil besitzt, der negativ oder Null
ist, haben wir außer dem unter den früher entwickelten Bedingun-
gen etwa existierenden eindeutigen Integralsystem noch unendlich
viele Systeme von Integralen gefunden, welche für u = 0 ver-
schwinden und sich um diesen Punkt herum in konvergente Po-
tenzreihen von

u, u^' log u, u^' log u,

logu, u

M,


M,

X+2

M-,

worin M^ Mg,...M,, positive ganze Zahlen waren, entwickeln
lassen — Integrale, die somit für u = 0 nicht von einer bestimmten
endlichen Ordnung verschwinden.