Über Matrizen oder lineare homogene Differentialsysteme. (A. 5) 7
d^
- + 7?? n ?/i + ^12^ + ' ' ' + ^7^7/^ = 0
dai
(3)
dar
+ ^2i:Vi + ^22^2 + - - - + 77?2„?/„ = 0
dar
+ + 2/^2 7/g + - - - + 277^^7/^
0,
so erhält man aus dem mitgeteilten Theorem den folgenden grund-
legenden, bisher noch nicht bewiesenen Satz:
Besteht der Rationalitätsbereich Z nicht aus
lauter Konstanten, so existieren in Z stets ^Funk-
tionen Pu, /A2----,Pi,t von folgender Beschaffenheit:
Die lineare homogene Differentialgleichung d? = 0
von der niedrigsten Ordnung mit Koeffizienten aus Z,
die durch die aus Pn,Pi2,---!PiM und aus dem Inte-
gralsystem ?R, ?/27---5?/„ der Gleichungen (3) gebildete
Funktion
(4) + -
befriedigt wird, besitzt die Ordnung m Anders aus-
gedrückt: In einem nicht nur aus Konstanten ge-
bildeten Rationalitätsbereich ist ein System von 77
linearen homogenen Differentialgleichungen erster
Ordnung mit 77 unbekannten Funktionen stets 6777er
linearen homogenen Differentialgleichung 77-ter und
nicht niedrigerer Ordnung mit einer unbekannten
Funktion äquivalent.
Durch diesen Satz ist die Behandlung des Differentialglei-
chungssystems (3) auf die Untersuchung einer einzigen gleichwer-
tigen Differentialgleichung d? = 0 77-ter Ordnung zurückgeführt, der
die Funktion genügt. Durch Differentiation von (4) und Be-
seitigung der rechter Hand auftretenden Abgeleiteten mittels des
cOzi
dar
Systems (3) kann man, da nach unserem Satz
dar'
d*
dar
^ linear unabhängig sind und erst
d
^1
dar
d^i
daA
d"Xi
in Dependenz stehen, eine jede der Funktionen 7/, (7 = 1,2,..., 77)
d^
- + 7?? n ?/i + ^12^ + ' ' ' + ^7^7/^ = 0
dai
(3)
dar
+ ^2i:Vi + ^22^2 + - - - + 77?2„?/„ = 0
dar
+ + 2/^2 7/g + - - - + 277^^7/^
0,
so erhält man aus dem mitgeteilten Theorem den folgenden grund-
legenden, bisher noch nicht bewiesenen Satz:
Besteht der Rationalitätsbereich Z nicht aus
lauter Konstanten, so existieren in Z stets ^Funk-
tionen Pu, /A2----,Pi,t von folgender Beschaffenheit:
Die lineare homogene Differentialgleichung d? = 0
von der niedrigsten Ordnung mit Koeffizienten aus Z,
die durch die aus Pn,Pi2,---!PiM und aus dem Inte-
gralsystem ?R, ?/27---5?/„ der Gleichungen (3) gebildete
Funktion
(4) + -
befriedigt wird, besitzt die Ordnung m Anders aus-
gedrückt: In einem nicht nur aus Konstanten ge-
bildeten Rationalitätsbereich ist ein System von 77
linearen homogenen Differentialgleichungen erster
Ordnung mit 77 unbekannten Funktionen stets 6777er
linearen homogenen Differentialgleichung 77-ter und
nicht niedrigerer Ordnung mit einer unbekannten
Funktion äquivalent.
Durch diesen Satz ist die Behandlung des Differentialglei-
chungssystems (3) auf die Untersuchung einer einzigen gleichwer-
tigen Differentialgleichung d? = 0 77-ter Ordnung zurückgeführt, der
die Funktion genügt. Durch Differentiation von (4) und Be-
seitigung der rechter Hand auftretenden Abgeleiteten mittels des
cOzi
dar
Systems (3) kann man, da nach unserem Satz
dar'
d*
dar
^ linear unabhängig sind und erst
d
^1
dar
d^i
daA
d"Xi
in Dependenz stehen, eine jede der Funktionen 7/, (7 = 1,2,..., 77)