Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Matrizen oder lineare homogene Differentialsysteme. (A. 5) 15

Eine Matrix ist dann und nur dann irreduzibel,
wenn alle ihre Begleitmatrizen den gleichen Grad
wie sie selbst haben.

§ 2.
Durch die Betrachtungen des § 1 sind wir zum Beweis des in
der Einleitung angegebenen Satzes vorbereitet. Wir haben ge-
sehen, daß zu jeder Matrix SR Begleitmatrizen existieren, deren
Konstruktion in dem Doppelsatz (a) und (/?) gelehrt wurde. Für
irreduzible Matrizen ist gezeigt, daß alle Begleitmatrizen den Grad
n der ursprünglichen Matrix besitzen. Bei reduziblen Matrizen
ist aber noch nicht bekannt, ob neben Begleitmatrizen niedrigeren
Grades auch noch solche vom Grade 7? existieren. Wir beweisen:
Enthält der Rationalitätsbereich Z nicht nur
ausschließlich Konstante, so besitzt eine jede Ma-
trix SR vom 77-ten Grade auch eine Begleitmatrix iß
des gleichen Grades, d.h. die Matrix SR ist mit einer
Bcgleitmatrix iß gegenseitig von derselben Art.
Da der zu beweisende Satz für irreduzible Matrizen richtig
ist, können wir uns darauf beschränken, ihn für reduzible Ma-
trizen zu beweisen. SR sei eine solche vom M-ten Grade. Wir
transformieren die Matrix SR in
Nw" ][

wobei SRn eine irreduzible Matrix bedeute. SRn habe den Grad /,
SR22 den Grad g, /+g = M. Infolge ihrer Irreduzibilität kann die
Matrix SRn in eine Begleitmatrix @n vom gleichen Grade / über-
geführt werden. Da der zu beweisende Satz für irreduzible Ma-
trizen zutrifft, wollen wir ihn für Matrizen von niedrigerem als
M-tem Grade als richtig annehmen. Alsdann haben wir, um ihn
allgemein zu beweisen, nur zu zeigen, daß er auch noch für Ma-
trizen des %-ten Grades richtig ist. Infolge unserer Annahme läßt
sich die Matrix SR22 hi eine Begleitmatrix @22 vom gleichen Grade ^
transformieren. Hiernach existieren Matrizen ißi und ^ der Grade
/ bezw. ^ von nicht verschwindenden Determinanten mit Koeffi-
zienten aus Z, so daß