Über Matrizen oder lineare homogene Differentialsysteme. (A. 5) 9
§ t-
Wir beweisen zunächst den folgenden Doppels atz, der uns
das Verfahren lehrt, durch das eine jede Begleitmatrix $8 oder,
was das Gleiche ist, eine jede Sequente Zf von $8 gefunden wird:
(n) Pu, pig' - - -, PiM seien irgend n G r ö ß e n aus dem R a -
tionalitätsbcreichA. Aus ihnen bilde man sukzessiv
für i = l, 2, die neuen Größen
(5)
/k+i,/? " /W
V
(Z = l,2,..., 7?)
wobei p^
ten. Mit
Zn Z2? - - - ?
t i o n c n
Ö)
die Differentialquotienten der p^ bedeu-
Hilfe von 77 u n b e s t i m m ten F u n k t i o n e n
k 0 n s t r u i e r e m a n
die
in + i L i n e a r
^1 ^ Zu Zi Z12 Z2
+ - - -
+ ZmZ^
-2 = Z21 Zi Z22 Z2
+ -- -
+ Z2^/Zm
ZwlZl A Z;;:2 Z2
+ ...
^ Zmm Zn !
A:+l = Z;;t+l,lZl + Zw + l,2.V2
+ ...
und führe diesen Prozeß so weit, daß, während
AiAn-'-iA, linear unabhängig sind, A,An---'A,+i in
linearer Abhängigkeit stehen. Werden die zuletzt
genannten Funktionen durch die Relation
(7) ^ A " ^2 A + " ' + ^ 2,,, + 3,„ + lA; + l - 0
o der, da 1 A 0 ist, durch
(7*) -'1 + ^2 + " ' + A: + -W+1 = 0
verknüpft, wobei = ' (i = f, 2,..., 771) ist, so hat man
An + l
in dem linearen homogenen D i f f erentia 1 aus dru ck
§ t-
Wir beweisen zunächst den folgenden Doppels atz, der uns
das Verfahren lehrt, durch das eine jede Begleitmatrix $8 oder,
was das Gleiche ist, eine jede Sequente Zf von $8 gefunden wird:
(n) Pu, pig' - - -, PiM seien irgend n G r ö ß e n aus dem R a -
tionalitätsbcreichA. Aus ihnen bilde man sukzessiv
für i = l, 2, die neuen Größen
(5)
/k+i,/? " /W
V
(Z = l,2,..., 7?)
wobei p^
ten. Mit
Zn Z2? - - - ?
t i o n c n
Ö)
die Differentialquotienten der p^ bedeu-
Hilfe von 77 u n b e s t i m m ten F u n k t i o n e n
k 0 n s t r u i e r e m a n
die
in + i L i n e a r
^1 ^ Zu Zi Z12 Z2
+ - - -
+ ZmZ^
-2 = Z21 Zi Z22 Z2
+ -- -
+ Z2^/Zm
ZwlZl A Z;;:2 Z2
+ ...
^ Zmm Zn !
A:+l = Z;;t+l,lZl + Zw + l,2.V2
+ ...
und führe diesen Prozeß so weit, daß, während
AiAn-'-iA, linear unabhängig sind, A,An---'A,+i in
linearer Abhängigkeit stehen. Werden die zuletzt
genannten Funktionen durch die Relation
(7) ^ A " ^2 A + " ' + ^ 2,,, + 3,„ + lA; + l - 0
o der, da 1 A 0 ist, durch
(7*) -'1 + ^2 + " ' + A: + -W+1 = 0
verknüpft, wobei = ' (i = f, 2,..., 771) ist, so hat man
An + l
in dem linearen homogenen D i f f erentia 1 aus dru ck