12 (A. 5)
ALFRED LOEWY:
Die Größen p;+^,(i==l, 2, ..., 772;A; = 1,2, ...,72.) sind nach den
Anssagen des Satzes (n) durch die Gleichungen (5) definiert. In-
folgedessen erhält man aus der für 35^35 gewonnenen Darstellung
unmittelbar die gewünschte Matrizengleichung (1) 35^ = —
diese besagt, daß die aus 35„ durch Streichen der Nullen in den
letzten 71—722 Zeilen und 72—721 Spalten hervorgehende Alatrix iS,
wie bewiesen werden soll, eine Begleitmatrix von 3k ist.
Wir beweisen nunmehr den Inhalt des Satzes ^). Für ihn ist
35 nach Voraussetzung eine Begleitmatrix von 9k, d. h. es existiert
eine Alatrix iß des Ranges 272, in deren ersten 772 Zeilen Elemente
p,-, (i = 1, 2, ..., 77?; A; = 1, 2, ..., 72) aus dem Rationalitätsbereich V
stehen und deren letzte 12—772 Zeilen Nullen enthalten, so daß
25^^—ist; dabei bedeutet 35„ die aus 35 durch Rände-
rung hervorgehende Alatrix, die erhalten wird, wenn man der Ala-
trix 35 72 — 7?2 Zeilen und ebensoviel Spalten, die nur Nullen ent-
halten, unten und rechts beifügt. Zu den 72-772 Größen p^, der
Alatrix F führen wir noch durch Definition die weiteren Größen
/V+a2c(^ 1.2, ....72) ein, die wir festlegen durch die Gleichungen
/V+i.A- ^ ^ ^1 biA —" ^2 TW ----- p,„, (A' =1,2,..., r?) .
Bildet man nun die Alatrix 35„3k so erhält man für diese genau
dieselbe Darstellung, wie sie oben heim Beweis des Satzes (77) aus-
führlich hingeschrieben wurde. Auf Grund der Aussagen des
Satzes (/f) besteht nach Ahiraussetzung, wie schon oben angeführt
wurde, die symbolische Gleichung 35„F=*F+3^- Diese setzt sich,
wenn man den Wert der Alatrix 35„F beachtet, um in die gewöhn-
lichen Gleichungen:
(5) = /y, - p,, 772,, (2 - 1, 2,..., 772 ; A- = 1, 2, . . ., 72.) .
S = 1
AAViter besagen die auf Grund unserer Definition der Größen
p,„^i , bestehenden Gleichungen
^1 hl A ^2 hä A + " ' + h^:A + AG+1, A = ^ ' ' ' ? ^
daß, wenn man die Funktionen ^i,^, nach (6) einführt,
diese durch die Relation (7*) verknüpft sind, wie beim Satz (/?)
bewiesen werden soll. Schließlich ergibt sich aus der Tatsache,
ALFRED LOEWY:
Die Größen p;+^,(i==l, 2, ..., 772;A; = 1,2, ...,72.) sind nach den
Anssagen des Satzes (n) durch die Gleichungen (5) definiert. In-
folgedessen erhält man aus der für 35^35 gewonnenen Darstellung
unmittelbar die gewünschte Matrizengleichung (1) 35^ = —
diese besagt, daß die aus 35„ durch Streichen der Nullen in den
letzten 71—722 Zeilen und 72—721 Spalten hervorgehende Alatrix iS,
wie bewiesen werden soll, eine Begleitmatrix von 3k ist.
Wir beweisen nunmehr den Inhalt des Satzes ^). Für ihn ist
35 nach Voraussetzung eine Begleitmatrix von 9k, d. h. es existiert
eine Alatrix iß des Ranges 272, in deren ersten 772 Zeilen Elemente
p,-, (i = 1, 2, ..., 77?; A; = 1, 2, ..., 72) aus dem Rationalitätsbereich V
stehen und deren letzte 12—772 Zeilen Nullen enthalten, so daß
25^^—ist; dabei bedeutet 35„ die aus 35 durch Rände-
rung hervorgehende Alatrix, die erhalten wird, wenn man der Ala-
trix 35 72 — 7?2 Zeilen und ebensoviel Spalten, die nur Nullen ent-
halten, unten und rechts beifügt. Zu den 72-772 Größen p^, der
Alatrix F führen wir noch durch Definition die weiteren Größen
/V+a2c(^ 1.2, ....72) ein, die wir festlegen durch die Gleichungen
/V+i.A- ^ ^ ^1 biA —" ^2 TW ----- p,„, (A' =1,2,..., r?) .
Bildet man nun die Alatrix 35„3k so erhält man für diese genau
dieselbe Darstellung, wie sie oben heim Beweis des Satzes (77) aus-
führlich hingeschrieben wurde. Auf Grund der Aussagen des
Satzes (/f) besteht nach Ahiraussetzung, wie schon oben angeführt
wurde, die symbolische Gleichung 35„F=*F+3^- Diese setzt sich,
wenn man den Wert der Alatrix 35„F beachtet, um in die gewöhn-
lichen Gleichungen:
(5) = /y, - p,, 772,, (2 - 1, 2,..., 772 ; A- = 1, 2, . . ., 72.) .
S = 1
AAViter besagen die auf Grund unserer Definition der Größen
p,„^i , bestehenden Gleichungen
^1 hl A ^2 hä A + " ' + h^:A + AG+1, A = ^ ' ' ' ? ^
daß, wenn man die Funktionen ^i,^, nach (6) einführt,
diese durch die Relation (7*) verknüpft sind, wie beim Satz (/?)
bewiesen werden soll. Schließlich ergibt sich aus der Tatsache,