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https://doi.org/10.11588/diglit.36424#0019
Über Matrizen oder lineare homogene Differentialsysteme. (A. 5) 19
und den ^ + A Funktionen :^,Zg, ...,Zg_^;,, die bei dem Differential-
+ !33ii(x) auftretcn, entweder / linear unabhängige oder
überhaupt keine linearen homogenen Relationen.
Wir behandeln zunächst den Fall, daß / Relationen bestehen.
Nach der Gleichung (9) und dem sich ihr anschließenden System (10)
sind z^Zg, ...,Zg lineare homogene Funktionen von 2/1,3/2,, %+?-
Mithin lassen sich die / zwischen und z^,Zg, ...,z ^;,
bestehenden Relationen in solche zwischen ?/i, ^2, - - -1 %+g, G+iG.+g?
...,z._^;, überführen. Auch diese Relationen sind unabhängig; denn
man kann von dmen zu den / früheren unabhängigen Relationen
zurückgelangen, da sieb jede der Funktionen ?p+;(?' = l, 2, ...,g)
durch die Funktionen yg, - - -1 A/ und z, (i = 1, 2,...,gj ausdrücken
läßt, wie aus den zur Bildung von z^,z.g,...,Zg verwandten Glei-
chungen (9) und (10) unmittelbar hervorgeht. Wäre nun A</, so
konnte man aus den / unabhängigen, zwischen y^, yg,...,y^.,
G+i, -.+2,..., bestehenden Relationen die A Funktionen z +1, z^g,
eliminieren und würde dann /—A>0 Relationen zwischen
den unabhängigen Funktionen yi, y2,---,d/+g erhalten. Da dies
unmöglich ist, muß A>/ sein. Es kann aber nur A</ sein. Aiit-
hin hat man A = /. Folglich besitzt die Matrix in dem unter-
suchten Fall den Grad g+A = g'+/ = n und ist daher mit G von
derselben Art. Nun waren aber die Matrizen 31? und G von der-
selben Art. Infolgedessen ist wegen der Transitivität des Art-
begriffes bei Matrizen gleichen Grades die vorgelegte Matrix
mit der Bcgleitmatrix Sin von derselben Art. Hiermit ist unser
Satz in dem behandelten Fade bewiesen.
Sind y^,yg, ...,y^, RG2)--"'G+/, üaear unabhängig, so muß zu-
nächst A=0 sein. Die Funktionen z-^Zg, ...,z^_;, hängen nämlich
linear und homogen von y^, yg,..., y^ ab und nur höchstens n = /+g
Linearfunktronen von y^, yg,...,y,, können hnear unabhängig sein.
Mithin hat man /+g + A<u, woraus sich infolge der Gleichung
/+g = H. ergibt, daß A=0 ist. Da y^yg, ...,y^, Zi,Zg,...,Zg insgesamt
^ linear unabhängige Funktionen sind, können wir das Differen-
+ G(y) durch Einführung der Funktionen Z], Zg,..., Zg
und Beibehaltung von y^,yg, in ein neues Differentialsystem
überführen. Dieses besitzt dann eine zerfallende Alatrix ß
tialsystem
/ d y
\ da?
System
dz
da?
und den ^ + A Funktionen :^,Zg, ...,Zg_^;,, die bei dem Differential-
+ !33ii(x) auftretcn, entweder / linear unabhängige oder
überhaupt keine linearen homogenen Relationen.
Wir behandeln zunächst den Fall, daß / Relationen bestehen.
Nach der Gleichung (9) und dem sich ihr anschließenden System (10)
sind z^Zg, ...,Zg lineare homogene Funktionen von 2/1,3/2,, %+?-
Mithin lassen sich die / zwischen und z^,Zg, ...,z ^;,
bestehenden Relationen in solche zwischen ?/i, ^2, - - -1 %+g, G+iG.+g?
...,z._^;, überführen. Auch diese Relationen sind unabhängig; denn
man kann von dmen zu den / früheren unabhängigen Relationen
zurückgelangen, da sieb jede der Funktionen ?p+;(?' = l, 2, ...,g)
durch die Funktionen yg, - - -1 A/ und z, (i = 1, 2,...,gj ausdrücken
läßt, wie aus den zur Bildung von z^,z.g,...,Zg verwandten Glei-
chungen (9) und (10) unmittelbar hervorgeht. Wäre nun A</, so
konnte man aus den / unabhängigen, zwischen y^, yg,...,y^.,
G+i, -.+2,..., bestehenden Relationen die A Funktionen z +1, z^g,
eliminieren und würde dann /—A>0 Relationen zwischen
den unabhängigen Funktionen yi, y2,---,d/+g erhalten. Da dies
unmöglich ist, muß A>/ sein. Es kann aber nur A</ sein. Aiit-
hin hat man A = /. Folglich besitzt die Matrix in dem unter-
suchten Fall den Grad g+A = g'+/ = n und ist daher mit G von
derselben Art. Nun waren aber die Matrizen 31? und G von der-
selben Art. Infolgedessen ist wegen der Transitivität des Art-
begriffes bei Matrizen gleichen Grades die vorgelegte Matrix
mit der Bcgleitmatrix Sin von derselben Art. Hiermit ist unser
Satz in dem behandelten Fade bewiesen.
Sind y^,yg, ...,y^, RG2)--"'G+/, üaear unabhängig, so muß zu-
nächst A=0 sein. Die Funktionen z-^Zg, ...,z^_;, hängen nämlich
linear und homogen von y^, yg,..., y^ ab und nur höchstens n = /+g
Linearfunktronen von y^, yg,...,y,, können hnear unabhängig sein.
Mithin hat man /+g + A<u, woraus sich infolge der Gleichung
/+g = H. ergibt, daß A=0 ist. Da y^yg, ...,y^, Zi,Zg,...,Zg insgesamt
^ linear unabhängige Funktionen sind, können wir das Differen-
+ G(y) durch Einführung der Funktionen Z], Zg,..., Zg
und Beibehaltung von y^,yg, in ein neues Differentialsystem
überführen. Dieses besitzt dann eine zerfallende Alatrix ß
tialsystem
/ d y
\ da?
System
dz
da?