Über Alatrizea oder lineare homogene Different.ialsysteme. (A. 5) 21
Funktion aus V, daß M^ Mg, ...,Mg^i m Dependenz stehen, oder
zweitens: für </n ist wenigstens eine derartige Funktion bekannt,
daß linear unabhängig sind. Angenommen, sei
eine solche Funktion, für die der zweite Fall vorliegt. Alsdann
erhält man durch Fortsetzen des Verfahrens, das zu den Gleichun-
gen (12) führte, ebenso wie bei dem erledigten Fall — hei ihm
handelte es sich um die Funktionen z^Zg, ...,z._^^, für die wir d = /
nachwiesen — /+g Funktionen Mi,Mg,...,Mg_^, daß diese unabhän-
gig sind und erst M,, Mg,..., Mg^, n.-r/'+i in linearer Dependenz
stehen. Die zwischen den zuletzt genannten Funktionen be-
stehende Relation möge lauten:
G Mi + Zg Mg + - - - — G+g G+g+1 h -
Alsdann ist die Matrix ß und daher auch die ursprünglich vor-
gelegte Alatrix von derselben Art mit der Begleitmatrix des
Differentialsystems
d^i
dz
Mg,
d Mg
dz
- Gi
d d M^
dz dz
Zi Ml -r Zg Mg e
^7+g i
womit unser Satz für diesen Fall bewiesen ist.
Mithin bleibt nur noch der Fall zu untersuchen, hei dem für
Gi bloß eine solche Funktion ausV bekannt ist, so daß M^Mg, ...,
Mg+i in Dependenz stehen. Wegen der Unabhängigkeit von ^/i,;^,
...,y/, Zi, Zg,..., Zg muß die M^, Mg,..., Mg+i verknüpfende Relation
dann lauten:
(14)
ZJgl Mi + Mgg Mg + - - - + Mgg Mg + Mg_^i = 0 ,
wie aus (11) und (12) folgt; denn sonst würden die Koeffizienten
von Zi,Zg, ...,Zg nicht einzeln verschwinden. Die Relation (14) wird
ersichtlich nur durch die Matrix 33n bestimmt und ist unabhängig
von der Wahl der Funktion ^n.
Aus (14) in Verbindung mit (11) und (12) ergibt sich
(15)
+
Gl (du dl) + G2(?2ldl ?22d2) Gs(d3ldl ^ ?32d2 ' ?33ds) + "*
Gg (Gi di+G2 d2+- - -+G/ d/) + (G+i, i di+G+i, 2 d2+- - -+ G+i, / d/) = ^ -
Funktion aus V, daß M^ Mg, ...,Mg^i m Dependenz stehen, oder
zweitens: für </n ist wenigstens eine derartige Funktion bekannt,
daß linear unabhängig sind. Angenommen, sei
eine solche Funktion, für die der zweite Fall vorliegt. Alsdann
erhält man durch Fortsetzen des Verfahrens, das zu den Gleichun-
gen (12) führte, ebenso wie bei dem erledigten Fall — hei ihm
handelte es sich um die Funktionen z^Zg, ...,z._^^, für die wir d = /
nachwiesen — /+g Funktionen Mi,Mg,...,Mg_^, daß diese unabhän-
gig sind und erst M,, Mg,..., Mg^, n.-r/'+i in linearer Dependenz
stehen. Die zwischen den zuletzt genannten Funktionen be-
stehende Relation möge lauten:
G Mi + Zg Mg + - - - — G+g G+g+1 h -
Alsdann ist die Matrix ß und daher auch die ursprünglich vor-
gelegte Alatrix von derselben Art mit der Begleitmatrix des
Differentialsystems
d^i
dz
Mg,
d Mg
dz
- Gi
d d M^
dz dz
Zi Ml -r Zg Mg e
^7+g i
womit unser Satz für diesen Fall bewiesen ist.
Mithin bleibt nur noch der Fall zu untersuchen, hei dem für
Gi bloß eine solche Funktion ausV bekannt ist, so daß M^Mg, ...,
Mg+i in Dependenz stehen. Wegen der Unabhängigkeit von ^/i,;^,
...,y/, Zi, Zg,..., Zg muß die M^, Mg,..., Mg+i verknüpfende Relation
dann lauten:
(14)
ZJgl Mi + Mgg Mg + - - - + Mgg Mg + Mg_^i = 0 ,
wie aus (11) und (12) folgt; denn sonst würden die Koeffizienten
von Zi,Zg, ...,Zg nicht einzeln verschwinden. Die Relation (14) wird
ersichtlich nur durch die Matrix 33n bestimmt und ist unabhängig
von der Wahl der Funktion ^n.
Aus (14) in Verbindung mit (11) und (12) ergibt sich
(15)
+
Gl (du dl) + G2(?2ldl ?22d2) Gs(d3ldl ^ ?32d2 ' ?33ds) + "*
Gg (Gi di+G2 d2+- - -+G/ d/) + (G+i, i di+G+i, 2 d2+- - -+ G+i, / d/) = ^ -