34 (A. 5)
ALFRED LOEWY:
gralsystem von 9k (y)
G/
Ja:
0 durchlaufen, w. linear unabhängige
Funktionen; folglich muß die lineare homogene Differentialglei-
chung niedrigster Ordnung mit Koeffizienten aus der z^ genügt,
mindestens von der Ordnung m sein. Da die aus dem System (G)
durch Elimination hervorgehende lineare homogene Differential-
gleichung die Ordnung 777 besitzt und offenbar auch durch
0 = kndi + ki2d2^-ü PiM befriedigt wird, wenn die Funktionen
yi, yg, ..., du jedes Integralsystcm von 9k (y) + ^ 0 durchlaufen,
ergibt sich zunächst, daß die aus (G) durch den Eliminations-
prozeß abgeleitete Gleichung die lineare homogene Differential-
gleichung niedrigster Ordnung mit Koeffizienten aus A ist, der z^
genügt. Es ist noch zu zeigen, daß diese eine Sequente von 9k
ist. Zu dem Zweck betrachten wir zunächst die durch das Glei-
chungssystem (G) eingeführten Koeffizienten; diese erfüllen nach
der Art der Bildung von (G), die in Differentiation und in Beseiti-
gung von G = l,2,...,7z)durch9k(y) + (-y^-j = 0 bestand, die
da:
da:
Relationen
0
ki+lA k:'7;
\
kn
(7 = 1, 2,..., 777; k = 1, 2,..., 77)
Will man nun ausgehend von z^puyi + p^ygü-üp^y„,
unter ;di, y2, ...,y„ willkürliche Funktionen verstanden, eine Se-
Gy'
quente des Differentialsystems 9k(y)+ bilden, wie dies in
da:
1 beschrieben ist, so hat man einfach zu setzen
7 — ku di + ki 2 d2 + *" + knt d^
(, = 1,2,...)
und soweit zu gehen, daß z^, Zg, ...,z, linear unabhängig sind,
Zi, Zg, ... , Z;_^ in Dependenz stehen. Werden diese durch die Re-
lation J1Z1 + fqzg + - - - + J,z, + z^i = 0 verbunden, so ist
7 , ,
O G + G y,"
da:
d^ Wi dG^
da:^"^ da:^
ALFRED LOEWY:
gralsystem von 9k (y)
G/
Ja:
0 durchlaufen, w. linear unabhängige
Funktionen; folglich muß die lineare homogene Differentialglei-
chung niedrigster Ordnung mit Koeffizienten aus der z^ genügt,
mindestens von der Ordnung m sein. Da die aus dem System (G)
durch Elimination hervorgehende lineare homogene Differential-
gleichung die Ordnung 777 besitzt und offenbar auch durch
0 = kndi + ki2d2^-ü PiM befriedigt wird, wenn die Funktionen
yi, yg, ..., du jedes Integralsystcm von 9k (y) + ^ 0 durchlaufen,
ergibt sich zunächst, daß die aus (G) durch den Eliminations-
prozeß abgeleitete Gleichung die lineare homogene Differential-
gleichung niedrigster Ordnung mit Koeffizienten aus A ist, der z^
genügt. Es ist noch zu zeigen, daß diese eine Sequente von 9k
ist. Zu dem Zweck betrachten wir zunächst die durch das Glei-
chungssystem (G) eingeführten Koeffizienten; diese erfüllen nach
der Art der Bildung von (G), die in Differentiation und in Beseiti-
gung von G = l,2,...,7z)durch9k(y) + (-y^-j = 0 bestand, die
da:
da:
Relationen
0
ki+lA k:'7;
\
kn
(7 = 1, 2,..., 777; k = 1, 2,..., 77)
Will man nun ausgehend von z^puyi + p^ygü-üp^y„,
unter ;di, y2, ...,y„ willkürliche Funktionen verstanden, eine Se-
Gy'
quente des Differentialsystems 9k(y)+ bilden, wie dies in
da:
1 beschrieben ist, so hat man einfach zu setzen
7 — ku di + ki 2 d2 + *" + knt d^
(, = 1,2,...)
und soweit zu gehen, daß z^, Zg, ...,z, linear unabhängig sind,
Zi, Zg, ... , Z;_^ in Dependenz stehen. Werden diese durch die Re-
lation J1Z1 + fqzg + - - - + J,z, + z^i = 0 verbunden, so ist
7 , ,
O G + G y,"
da:
d^ Wi dG^
da:^"^ da:^