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https://doi.org/10.11588/diglit.36502#0007
Integration von Differentialgleichungen durch Reihen. III. (A. 12) 7
und rechts nach Potezen von <1 entwickelt. Ist auch /o = 0, so
sieht man, daß die Differentialgleichung
y ' = X ^
jetzt durch die unendliche Reihe
?/ - X 9k
A=i
sogar hei ^ formal befriedigt wird. Diese Methode
ist identisch mit der in I angegebenen, wo aber G statt % geschrie-
ben war.
Gegenüber dem ersten Spezialfalle haben die beiden andern
den Vorzug, daß die Funktionen u<; nur eine Anzahl von
Gliedern der Form (7.) enthalten. Darauf beruht die in I und II
dargelegte Brauchbarkeit dieser Methoden zur numerischen Inte-
gration.
§ 2.
Wir gehen jetzt von den formalen Entwicklungen zu Konver-
genzbetrachtungen über. Die Funktionen /^(a?) seien im Intervall
(9.) % < % < &
definiert und stetig; sie dürfen aber beliebige komplexe Werte
annehmen. Es soll eine positive Zahl r geben, so daß die Reihe
(1.) für im ganzen Intervall (9.) gleichmäßig und absolut
konvergiert. Sie wird dann erst recht im Bereich
(10.) <7 < .:r < //, ] y j < r
gleichmäßig und absolut konvergieren.
Wenn wir jetzt ein Integral ?/ suchen, welches für = % den
Wert 7/ = c annimmt, werden wir naturgemäß )c) < r voraussetzen.
Sodann bestimmen wir die Funktionen irgendwie auf die in
und rechts nach Potezen von <1 entwickelt. Ist auch /o = 0, so
sieht man, daß die Differentialgleichung
y ' = X ^
jetzt durch die unendliche Reihe
?/ - X 9k
A=i
sogar hei ^ formal befriedigt wird. Diese Methode
ist identisch mit der in I angegebenen, wo aber G statt % geschrie-
ben war.
Gegenüber dem ersten Spezialfalle haben die beiden andern
den Vorzug, daß die Funktionen u<; nur eine Anzahl von
Gliedern der Form (7.) enthalten. Darauf beruht die in I und II
dargelegte Brauchbarkeit dieser Methoden zur numerischen Inte-
gration.
§ 2.
Wir gehen jetzt von den formalen Entwicklungen zu Konver-
genzbetrachtungen über. Die Funktionen /^(a?) seien im Intervall
(9.) % < % < &
definiert und stetig; sie dürfen aber beliebige komplexe Werte
annehmen. Es soll eine positive Zahl r geben, so daß die Reihe
(1.) für im ganzen Intervall (9.) gleichmäßig und absolut
konvergiert. Sie wird dann erst recht im Bereich
(10.) <7 < .:r < //, ] y j < r
gleichmäßig und absolut konvergieren.
Wenn wir jetzt ein Integral ?/ suchen, welches für = % den
Wert 7/ = c annimmt, werden wir naturgemäß )c) < r voraussetzen.
Sodann bestimmen wir die Funktionen irgendwie auf die in