Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A.12)

OSKAR PERRON:

§ 1 beschriebene Art, so daß also die Formeln (8.) gelten. Wenn
wir zeigen können, daß die so berechneten Reihen
(H-) X<?A
A=l /.=1
im Intervall (9.) gleichrhäßig und absolut konvergieren, und daß
;.=i
ist, so erweisen sich die formalen Operationen des § i nachträg-
lich als berechtigt, und die erste der Reihen (11.) stellt daher das
gesuchte Integral dar, da sie ja für 2 = % den Wert c annimmtA
Wir betrachten nun neben der Gleichung (1.) noch die
folgende:
(12.) y-=^F,(^)y-.
<<=0
Dabei soll im Intervall (9.) F,, (22) stetig und außerdem
(13.) F„(x)>l/„(x)i (- = 0,1,2,...),
also gewiß F,, (2:)>0 sein, und auch die Reihe (12.) soll für F = r
im Intervall (9.) gleichmäßig konvergieren (natürlich auch abso-
lut, da ihre Glieder reell und > 0 sind).
Von der Differentialgleichung (12.) suchen wir das Integral,
das für %:=% den Wert ]c] annimmt, in Form einer zu (2.)
analogen Reihe
i Man bemerke, daß durch Vorgabe des Anfangswertes c das Integral
cGdeMÜg bestimmt ist, da ja die rechte Seite der Gleichung (1.) sich nach y
differenzieren läßt, so daß gewiß die LiPscHiTzsche Bedingung erfüllt ist.
Nur für jcl = r ist dieser Schluß nicht bindend, und es kann dann in der
Tat mehrere Integrale geben. Beispielsweise hat die Differentialgleichung
/ 1 1-3 -
2/ =-l + ^y + 2.^ ^ + = "
wenn y(a) = l sein soll, die beiden Integrale
i/i = l. 1/2 = 1 —i(-x — a)G
Es ist interessant, zu bemerken, daß hier die Methode des ersten Spezialfalls
das Integral 1/1, die des zweiten Spezialfalls das Integral yg liefert.