DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.36502#0009
Integration von Differentialgleichungen durch Reihen. III. (A. 12) 9
(14.) Y -
;.=i
zu gewinnen. An die Stelle der Gleichungen (8.) treten dann diese:
— ]cje-^*22^d:r,
^ = )' 22;.dir (2 = 2,3, 4,...) ,
wobei 22^ aus co^ dadurch hervorgeht, daß alle bezw. durch
F„, 0^ ersetzt werden. Insbesondere ist analog zu (6.):
(16.) 22^ = 0 oder Fo,
je nachdem man = 0 oder /g gewählt hat.
Hieraus folgt zunächst, daß 22^^ ]u<i], und folglich nach der
ersten Gleichung (15.) und (8.) auch ist. Durch den
Schluß von 2—1 auf 2 schließt man aber aus (15.) und (8.) in
Verbindung mit (13.) sogleich allgemein:
(17.) (2 = 1,2,3,...).
Durch Differentiation der Formeln (15.) und Vergleich mit (5.)
folgt hieraus weiter:
(is.) <p(,>!ü! (;, = i,2,3,...).
Wenn daher die Reihe (14.), sowie die durch gliedweise Diffe-
rentiation daraus entstehende Reihe im Intervall (9.) gleichmäßig
und selbstverständlich auch absolut konvergieren, so wird das-
selbe von den beiden Reihen (11.) gelten.
Für die Funktionen 22 ^ gilt die wichtige Ungleichung
(19.) ß, + D, + ... + 22, < X F„. (<^ + <P, + ..
1^ = 0
(15.)
(14.) Y -
;.=i
zu gewinnen. An die Stelle der Gleichungen (8.) treten dann diese:
— ]cje-^*22^d:r,
^ = )' 22;.dir (2 = 2,3, 4,...) ,
wobei 22^ aus co^ dadurch hervorgeht, daß alle bezw. durch
F„, 0^ ersetzt werden. Insbesondere ist analog zu (6.):
(16.) 22^ = 0 oder Fo,
je nachdem man = 0 oder /g gewählt hat.
Hieraus folgt zunächst, daß 22^^ ]u<i], und folglich nach der
ersten Gleichung (15.) und (8.) auch ist. Durch den
Schluß von 2—1 auf 2 schließt man aber aus (15.) und (8.) in
Verbindung mit (13.) sogleich allgemein:
(17.) (2 = 1,2,3,...).
Durch Differentiation der Formeln (15.) und Vergleich mit (5.)
folgt hieraus weiter:
(is.) <p(,>!ü! (;, = i,2,3,...).
Wenn daher die Reihe (14.), sowie die durch gliedweise Diffe-
rentiation daraus entstehende Reihe im Intervall (9.) gleichmäßig
und selbstverständlich auch absolut konvergieren, so wird das-
selbe von den beiden Reihen (11.) gelten.
Für die Funktionen 22 ^ gilt die wichtige Ungleichung
(19.) ß, + D, + ... + 22, < X F„. (<^ + <P, + ..
1^ = 0
(15.)