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https://doi.org/10.11588/diglit.36502#0011
Integration von Differentialgleichungen durch Reihen. III. (A. 12) 11
h-"x - n-"xW
A=i ;.=i
Daher ist
(2L)
>
X - X ^ E I^ach (12.) und (19.)
x^,
v = 0
:. = 0 \A=1
u- X <p.
A=1
> 0 .
^>x
;.=i
und durch Integration von u bis a; folgt:
U-b! >"x ,
;.=i
womit die Ungleichung (20.) allgemein bewiesen ist.
Bezeichnet man mit G das Maximum der Funktion im
Intervall (9.), so ist nach (20.):
(22.) X V * '' -
A=1
und daraus folgt, daß die Reihe ^ im Intervall (9.) gleich-
mäßig konvergiert. Das gleiche schließt man aus (21.) für die
Reihe . Wegen (17.) und (18.) werden daher um so mehr die
beiden Reihen (11.) im Intervall (9.) gleichmäßig und absolut kon-
vergieren. Da ferner das Integral Y^ nach Voraussetzung bleibt,
so ist auch das Maximum G<r, und aus (22.) folgt daher:
A=1
Um so mehr wird
E
sein, und hieraus ergibt sich in Verbindung mit den Bemerkungen
zu Beginn dieses Paragraphen der
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Daher ist
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X - X ^ E I^ach (12.) und (19.)
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und durch Integration von u bis a; folgt:
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womit die Ungleichung (20.) allgemein bewiesen ist.
Bezeichnet man mit G das Maximum der Funktion im
Intervall (9.), so ist nach (20.):
(22.) X V * '' -
A=1
und daraus folgt, daß die Reihe ^ im Intervall (9.) gleich-
mäßig konvergiert. Das gleiche schließt man aus (21.) für die
Reihe . Wegen (17.) und (18.) werden daher um so mehr die
beiden Reihen (11.) im Intervall (9.) gleichmäßig und absolut kon-
vergieren. Da ferner das Integral Y^ nach Voraussetzung bleibt,
so ist auch das Maximum G<r, und aus (22.) folgt daher:
A=1
Um so mehr wird
E
sein, und hieraus ergibt sich in Verbindung mit den Bemerkungen
zu Beginn dieses Paragraphen der