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https://doi.org/10.11588/diglit.36508#0009
Bemerkungen zur projektiven Maßbestimmung.
(A.18) 9
Also ergibt sich durch ganz einfache Rechnung aus (7) für das
Verhältnis der Strecke AR zu einem ihr »parallelen
Halbmesser« (977 der Eichfläche in bezug auf m
/ABr ^ / jq _ Ti V Ms _ _ Mr
\<9E/^
Statt durch m und R oder (9 und E kann man den Raum
natürlich mit derselben Wirkung auch durch ein Tetraeder mit
einer Ecke (9 und gegenüberliegender Ebene m und einen mit
keiner Tetraederebene inzidierenden (Einheits-) Punkt E eichen,
da hierdurch ein Koordinatensystem und dessen zu (9 gehörige
reelle ehiptische Eichfläche E bestimmt ist.
Ferner ist leicht zu erkennen, welche von (E, (9) verschiedenen
Eichsysteme (E', (9') jeder Strecke AR dieselbe Zahl zuordnen
wie (E, (9). Es sind nämiich die und nur die Eichsysteme, bei
denen m und der von m aus E ausgeschnittene ET invariant blei-
ben, (9' stets der Pol von m in bezug auf E' ist, und, wenn E
irgendein Punkt auf E, /t, der Schnittpunkt von (9E mit m ist
und die Gerade (9'E„ die Fläche E' in den Punkten Bj,Bo schnei-
det, eine der beiden Geraden BBj oder EEg dm* Geraden (9(9'
»parallel« ist. In der affinen Geometrie bleibt hiernach die
Streckenverhältniszahl dieselbe für alle kongruenten und ähnlich
liegenden Ellipsoide, in der äquiformen für alle kongruenten
Kugeln als Eichfläche.
Erst der äquiformen Geometrie gehört die Frage nach dem
Verhältnis zweier beliebigen, auch nicht parallelen Strecken
an. Um diesen Begriff affin und weiter projektiv verallgemeinern
zu können, muß man darunter das Verhältnis der Verhältnisse
beider Strecken zu den (einander gleichen) ihnen parallelen Halb-
messern einer beliebigen Eichkugel verstehen. Alle diese Eich-
kugeln schneiden aus der uneigentlichen Ebene m denselben Kugel-
kreis aus. ln der affinen und projektiven Geometrie wird hieraus
also das Verhältnis der Verhältnisse zweier Strecken zu den ihnen
»parallelen« Halbmessern einer beliebigen Eichfläche E, die aber
einen invarianten imaginären EA aus der invarianten Ebene ca
ausschneiden muß. Man braucht also für die projektive Definition
des Verhältnisses zweier beliebigen Strecken nicht die Fläche
(A.18) 9
Also ergibt sich durch ganz einfache Rechnung aus (7) für das
Verhältnis der Strecke AR zu einem ihr »parallelen
Halbmesser« (977 der Eichfläche in bezug auf m
/ABr ^ / jq _ Ti V Ms _ _ Mr
\<9E/^
Statt durch m und R oder (9 und E kann man den Raum
natürlich mit derselben Wirkung auch durch ein Tetraeder mit
einer Ecke (9 und gegenüberliegender Ebene m und einen mit
keiner Tetraederebene inzidierenden (Einheits-) Punkt E eichen,
da hierdurch ein Koordinatensystem und dessen zu (9 gehörige
reelle ehiptische Eichfläche E bestimmt ist.
Ferner ist leicht zu erkennen, welche von (E, (9) verschiedenen
Eichsysteme (E', (9') jeder Strecke AR dieselbe Zahl zuordnen
wie (E, (9). Es sind nämiich die und nur die Eichsysteme, bei
denen m und der von m aus E ausgeschnittene ET invariant blei-
ben, (9' stets der Pol von m in bezug auf E' ist, und, wenn E
irgendein Punkt auf E, /t, der Schnittpunkt von (9E mit m ist
und die Gerade (9'E„ die Fläche E' in den Punkten Bj,Bo schnei-
det, eine der beiden Geraden BBj oder EEg dm* Geraden (9(9'
»parallel« ist. In der affinen Geometrie bleibt hiernach die
Streckenverhältniszahl dieselbe für alle kongruenten und ähnlich
liegenden Ellipsoide, in der äquiformen für alle kongruenten
Kugeln als Eichfläche.
Erst der äquiformen Geometrie gehört die Frage nach dem
Verhältnis zweier beliebigen, auch nicht parallelen Strecken
an. Um diesen Begriff affin und weiter projektiv verallgemeinern
zu können, muß man darunter das Verhältnis der Verhältnisse
beider Strecken zu den (einander gleichen) ihnen parallelen Halb-
messern einer beliebigen Eichkugel verstehen. Alle diese Eich-
kugeln schneiden aus der uneigentlichen Ebene m denselben Kugel-
kreis aus. ln der affinen und projektiven Geometrie wird hieraus
also das Verhältnis der Verhältnisse zweier Strecken zu den ihnen
»parallelen« Halbmessern einer beliebigen Eichfläche E, die aber
einen invarianten imaginären EA aus der invarianten Ebene ca
ausschneiden muß. Man braucht also für die projektive Definition
des Verhältnisses zweier beliebigen Strecken nicht die Fläche