Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

in dieser Note werde ich das allgemeine integral von gewissen
Differentialgleichungen in eine Reihe entwickeln, die nach Poten-
zen der Integrationskonstanten fortschreitet, wobei die Koeffizien-
ten sich einfach durch Quadraturen ergeben. Dadurch wird für
eine umfangreiche Klasse von Differentialgleichungen zugleich ein
neuer Existenzbeweis ihrer integrale geliefert. Die fraglichen
Reihenentwicklungen scheinen zur numerischen Integration be-
sonders geeignet, wie ich an zwei Beispielen mit genauer Fehler-
abschätzung zeigen werde.

§ L

Wir nehmen zunächst eine Differentialgleichung der Form

(t ) = i/,(.<) '/
<'=2
an, wobei die Funktionen /,,(%) im Intervall
(2.) 0 < % < ^
definiert und stetig sein sollen; sie dürfen reelle oder komplexe
Werte haben. Die Differentialgleichung (I.) hat offenbar das Par-
tikulärintegral ?/ = 0. Ein Integral, welches für ^ = 0 den Wert
y c annimmt, suchen wir in folgender Form darzustellen:
M y = c + ][]<p„(;r)c'',
t'=2
wo die Funktionen für 3? = 0 verschwinden sollen. Durch
formale Differentiation folgt aus (3.):
(^-) = Z 9N (%) c" .