Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Integrale linearer Differentialgleichungen mit Parameter. III.

(A. 6) 7

Die Gleichung (20.) gibt für f = 1:
Vh = E 9h,a,o/G,o = 9h,i,o i
sie liefert also die Funktion Für i>l gibt sie, weil yo = /i i^l-
(A-/J Wi - - ViXt',0 + E = <G,1,0 ;
A=1
sie liefert also, weil /i4/; ist, die Funktion x^i- Allgemein erhält
man aus (21.), nachdem
VA - - - > Vh-i ^
bereits bekannt sind, für ^ = 1 die Funktion (weil nämlich
Xi o = l und Xi ,, = 0 ihr ri>l ist) und sodann für i>l die Funktion
X, ,,, und zwar alles eindeutig. Dabei kommt, weil in (21.) auch
die Ableitung der bereits bekannten Funktion x^,,-,„ auftritt, die
Voraussetzung zur Geltung, daß die Funktionen unend-
lich oft differenzierbar sein sollen. Denn erst diese erzwingt es, daß
alle berechneten Funktionen x^ stets eine Ableitung haben.
Die Funktionen y„(;r) und Xm-(^) lassen sich hiernach ein-
deutig und widerspruchslos berechnen, und daraus ergeben sich
dann nach dem oben Gesagten auch die Funktionen A,, (.r) und
M; ,, kr), wobei gewisse Integrationskonstanten auftreten, die wir
witlkürlich wählen dürfen. Insbesondere ist nach (14.) und (22.):
(24.) A(,(F) - J /i(F)da; .
Die so bestimmten Funktionen A,,(a), <U;^,(%) befriedigen die for-
male Gleichung (8.) identisch, so daß die Ausdrücke (4.) in der
Tat dem gegebenen Differentialgleichungssystem (1.) formal ge-
nügen.
Wir bemerken noch, daß
(25.) (,^o(F)=0 füri=2,3,...,n
ist. In der Tat folgt aus (13.): <A,Q = /Ao<Ui,0' also e^o = 0 mit
Rücksicht auf (23.).