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https://doi.org/10.11588/diglit.36519#0005
Asympf. Integration einer partiellenlinearen Differentialgleichung. (A. 11) 5
wobei % fest ist, während 2 und q in variieren. Die Funktion y
ist in 6* analytisch, und es gilt die Gleichung
d - <d (^1 G) = G -
Man kann (9.) auch nach auflösen und bekommt
(10) A = <p(n,a?,y) = (P(a;,y),
wobei (P eine in 6* analytische Funktion ihrer Argumente ist.
Wir wenden uns jetzt zu der zweiten aus (8) folgenden Gleichung
(ii)
d n
da;
4 (^,dA)
- A(ir,yA) .
Da in 6" ständig ^(a;,y)[ > A ist, so ist auch die Reihe
y y,p.y)
zur gleichmäßig asymptotischen Darstellung von A geeignet. Setzt
man also
^ (^1 d)
so daß die reguläre Funktionen von a; und y sind, dann jst
gleichmäßig in S:
A (a;, y A) - (a;, y) ^ .
1^*0
Hierin ersetzen wir nun nach (9) y durch <p (a:, n, cj und erhalten
A (a^ <pA) ^ ^ (a, <p) ^ ,
^=0
wobei A(ap <pA) und die a^(a, y) reguläre Funktionen von a und
Ci sind. Die obige Reihe darf gliedweise nach % integriert werden,
wobei % fest ist, während 2 und q in variieren. Die Funktion y
ist in 6* analytisch, und es gilt die Gleichung
d - <d (^1 G) = G -
Man kann (9.) auch nach auflösen und bekommt
(10) A = <p(n,a?,y) = (P(a;,y),
wobei (P eine in 6* analytische Funktion ihrer Argumente ist.
Wir wenden uns jetzt zu der zweiten aus (8) folgenden Gleichung
(ii)
d n
da;
4 (^,dA)
- A(ir,yA) .
Da in 6" ständig ^(a;,y)[ > A ist, so ist auch die Reihe
y y,p.y)
zur gleichmäßig asymptotischen Darstellung von A geeignet. Setzt
man also
^ (^1 d)
so daß die reguläre Funktionen von a; und y sind, dann jst
gleichmäßig in S:
A (a;, y A) - (a;, y) ^ .
1^*0
Hierin ersetzen wir nun nach (9) y durch <p (a:, n, cj und erhalten
A (a^ <pA) ^ ^ (a, <p) ^ ,
^=0
wobei A(ap <pA) und die a^(a, y) reguläre Funktionen von a und
Ci sind. Die obige Reihe darf gliedweise nach % integriert werden,