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https://doi.org/10.11588/diglit.56264#0009
Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 9
Isogonalflächen geben können, deren einfachste Vertreter schon
ziemlich verwickelte Verhältnisse zeigen. Zunächst werden in § 13,
im Anschluß an § 7, als nächstliegender Fall die Isogonalflächen
untersucht, welche eine anisotrope Gerade enthalten, woraus —
mit einer Ausnahme — das Auftreten einer abzählbar unendlichen
Menge von Geraden auf diesen Flächen folgt. Speziell ergibt sich
dabei, daß unter den Isogonalflächen keine Regelflächen auftreten
können. Zum Schlüsse wird in § 14 in anderm Zusammenhänge
noch einmal auf den speziellen Fall des § 10 zurückgegriffen. Hier
gelingt es, aus der allgemeinen Koordinatendarstellung des § 8
die beiden Parameter zu eliminieren. Diese, mit der Theorie der
JF-Kurven eng zusammenhängenden Flächen zeigen unter einer
ganzen Reihe von Eigenschaften auch solche, durch die sie, un-
abhängig von den Merkmalen der Isogonalflächen, in einfacher
Weise unter allen Flächen des Raumes ausgezeichnet sind.
§ 1.
Ausartungen komplexer Winkel.
1. Aus der Laguerre sehen Zurückführung des Winkels auf
den Begriff des Doppelverhältnisses mit Hilfe des absoluten Kegel-
schnittes1 ergeben sich einige für das Folgende nötige Bemerkun-
gen über komplexe Winkel; dabei soll nur von eigentlichen Ge-
raden und Ebenen die Rede sein.
Der Winkel zwischen zwei Geraden in einer Ebene möge für
einen Augenblick regulär heißen, wenn die Funktion Tangens die-
ses Winkels einen bestimmten (Grenz-) Wert hat2, und wenn zwei
Gerade, die Winkel dieses Tangenswertes mit einer dritten Ge-
raden einschließen, zueinander parallel sind, sich im Unendlichen
1 Im folgenden werden die zum Teil üblichen Bezeichnungen gebraucht:
absolutes Punktepaar oder absolute Punkte der Ebene (Kreispunkte im Un-
endlichen), absoluter Kegelschnitt (Kugelkreis im Unendlichen), isotrope
Gerade (Minimalgerade), isotrope Kurven (Minimalkurven [erster Ordnung]),
isotrope Ebenen (die den absoluten Kegelschnitt berühren), isotroper Kegel aus
einem eigentlichen Punkte (Nullkugel, Minimalkegel, projiziert den absoluten
Kegelschnitt), zugleich isotrope Kugel; (un)eigentlich — im (Un-) Endlichen
liegend.
2 Dabei ist tang (a, b) — tang (b, a).
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Isogonalflächen geben können, deren einfachste Vertreter schon
ziemlich verwickelte Verhältnisse zeigen. Zunächst werden in § 13,
im Anschluß an § 7, als nächstliegender Fall die Isogonalflächen
untersucht, welche eine anisotrope Gerade enthalten, woraus —
mit einer Ausnahme — das Auftreten einer abzählbar unendlichen
Menge von Geraden auf diesen Flächen folgt. Speziell ergibt sich
dabei, daß unter den Isogonalflächen keine Regelflächen auftreten
können. Zum Schlüsse wird in § 14 in anderm Zusammenhänge
noch einmal auf den speziellen Fall des § 10 zurückgegriffen. Hier
gelingt es, aus der allgemeinen Koordinatendarstellung des § 8
die beiden Parameter zu eliminieren. Diese, mit der Theorie der
JF-Kurven eng zusammenhängenden Flächen zeigen unter einer
ganzen Reihe von Eigenschaften auch solche, durch die sie, un-
abhängig von den Merkmalen der Isogonalflächen, in einfacher
Weise unter allen Flächen des Raumes ausgezeichnet sind.
§ 1.
Ausartungen komplexer Winkel.
1. Aus der Laguerre sehen Zurückführung des Winkels auf
den Begriff des Doppelverhältnisses mit Hilfe des absoluten Kegel-
schnittes1 ergeben sich einige für das Folgende nötige Bemerkun-
gen über komplexe Winkel; dabei soll nur von eigentlichen Ge-
raden und Ebenen die Rede sein.
Der Winkel zwischen zwei Geraden in einer Ebene möge für
einen Augenblick regulär heißen, wenn die Funktion Tangens die-
ses Winkels einen bestimmten (Grenz-) Wert hat2, und wenn zwei
Gerade, die Winkel dieses Tangenswertes mit einer dritten Ge-
raden einschließen, zueinander parallel sind, sich im Unendlichen
1 Im folgenden werden die zum Teil üblichen Bezeichnungen gebraucht:
absolutes Punktepaar oder absolute Punkte der Ebene (Kreispunkte im Un-
endlichen), absoluter Kegelschnitt (Kugelkreis im Unendlichen), isotrope
Gerade (Minimalgerade), isotrope Kurven (Minimalkurven [erster Ordnung]),
isotrope Ebenen (die den absoluten Kegelschnitt berühren), isotroper Kegel aus
einem eigentlichen Punkte (Nullkugel, Minimalkegel, projiziert den absoluten
Kegelschnitt), zugleich isotrope Kugel; (un)eigentlich — im (Un-) Endlichen
liegend.
2 Dabei ist tang (a, b) — tang (b, a).