10 (A. 9)
Richard Baldus:
treffen. Irgend zwei (eigentliche) Gerade in einer Ebene schließen
einen regulären Winkel ein, folgende vier Fälle ausgenommen:
I. Die Ebene berührt den absoluten Kegelschnitt nicht, ist
anisotrop.
a) Jede isotrope Gerade schließt mit jeder ihr nicht parallelen
Geraden einen Winkel co ein,
(1) co = Hm (p iq)
q -> +oo
bei beliebigem, endlichem (reellem) p, für den
(2) lim (tang(p(t}^)) =
q ->4-oo
ist1. Ein solcher Winkel, dessen Tangens den Grenzwert + i hat,
wird weiterhin als isotroper Winkel bezeichnet; sein Sinus und
Cosinus werden unendlich.
b) Jede isotrope Gerade schließt mit den zu ihr parallelen
Geraden (und sich selbst) einen unbestimmten Winkel ein, d. h.
einen Winkel mit unbestimmtem (Grenz-) Werte des Tangens.
II. Die Ebene berührt den absoluten Kegelschnitt, ist isotrop.
Die beiden absoluten Punkte in ihr fallen zusammen, daher auch
die beiden isotropen Geraden von jedem Punkt aus.
a) Irgend zwei anisotrope Gerade schließen den Winkel 0 ein2.
b) Jede isotrope Gerade schließt mit jeder Geraden (auch
mit sich selbst) einen unbestimmten Winkel ein.
1 VgL R. Baldus, Über logarithmische Spiralen, die gleichzeitig algebra-
ische Kurven sind, Nr. 5. Archiv d. Math. u. Phys. Bd. 28, 1920, S. 102 — 111.
Der Winkel a> tritt, wie Herr Krazer dem Verfasser mitteilt, schon bei
L. Euler auf: Recherches sur les racines imaginaires des equations. Berl.
Akademie (5) (1748), 1751, S. 222 — 288. Doch ist der dort angegebene Wert
^ +-yj^-±i*oo (A ganzzahlig) zu speziell; aus diesem Werte würde z. B.
folgen, daß bei einer reellen Drehung der reellen Ebene um einen festen Punkt
die isotropen Geraden nicht fest bleiben würden.
2 Daher ist im Komplexen der Parallelismus nur ein Spezialfall des
Winkels 0, deckt sich aber nicht damit. Eine reelle Gerade kann mit einer
sie im Endlichen schneidenden anisotropen imaginären Geraden den Winkel 0
einschließen. Eine anisotrope Gerade kann mit der Normalen einer aniso-
tropen Ebene den Winkel 0 einschließen, ohne auf der Ebene senkrecht zu
stehen. Dies tritt im Falle III, a ein.
Richard Baldus:
treffen. Irgend zwei (eigentliche) Gerade in einer Ebene schließen
einen regulären Winkel ein, folgende vier Fälle ausgenommen:
I. Die Ebene berührt den absoluten Kegelschnitt nicht, ist
anisotrop.
a) Jede isotrope Gerade schließt mit jeder ihr nicht parallelen
Geraden einen Winkel co ein,
(1) co = Hm (p iq)
q -> +oo
bei beliebigem, endlichem (reellem) p, für den
(2) lim (tang(p(t}^)) =
q ->4-oo
ist1. Ein solcher Winkel, dessen Tangens den Grenzwert + i hat,
wird weiterhin als isotroper Winkel bezeichnet; sein Sinus und
Cosinus werden unendlich.
b) Jede isotrope Gerade schließt mit den zu ihr parallelen
Geraden (und sich selbst) einen unbestimmten Winkel ein, d. h.
einen Winkel mit unbestimmtem (Grenz-) Werte des Tangens.
II. Die Ebene berührt den absoluten Kegelschnitt, ist isotrop.
Die beiden absoluten Punkte in ihr fallen zusammen, daher auch
die beiden isotropen Geraden von jedem Punkt aus.
a) Irgend zwei anisotrope Gerade schließen den Winkel 0 ein2.
b) Jede isotrope Gerade schließt mit jeder Geraden (auch
mit sich selbst) einen unbestimmten Winkel ein.
1 VgL R. Baldus, Über logarithmische Spiralen, die gleichzeitig algebra-
ische Kurven sind, Nr. 5. Archiv d. Math. u. Phys. Bd. 28, 1920, S. 102 — 111.
Der Winkel a> tritt, wie Herr Krazer dem Verfasser mitteilt, schon bei
L. Euler auf: Recherches sur les racines imaginaires des equations. Berl.
Akademie (5) (1748), 1751, S. 222 — 288. Doch ist der dort angegebene Wert
^ +-yj^-±i*oo (A ganzzahlig) zu speziell; aus diesem Werte würde z. B.
folgen, daß bei einer reellen Drehung der reellen Ebene um einen festen Punkt
die isotropen Geraden nicht fest bleiben würden.
2 Daher ist im Komplexen der Parallelismus nur ein Spezialfall des
Winkels 0, deckt sich aber nicht damit. Eine reelle Gerade kann mit einer
sie im Endlichen schneidenden anisotropen imaginären Geraden den Winkel 0
einschließen. Eine anisotrope Gerade kann mit der Normalen einer aniso-
tropen Ebene den Winkel 0 einschließen, ohne auf der Ebene senkrecht zu
stehen. Dies tritt im Falle III, a ein.