Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 15
7. Während die reellen ebenen logarithmischen Spiralen tran-
szendente Kurven sind, gibt es, wie man aus der Gl. (4) sofort er-
kennt, spezielle, imaginäre logarithmische Spiralen, die algebra-
ische Kurven sind. Eine notwendige und hinreichende Bedingung
dafür, daß eine logarithmische Spirale algebraisch ist, besteht
darin, daß a (der Gotangens des Schnittwinkels) ein rationales
Vielfaches von i ist,
/r\ m
(5) a --I m,n = ±1, ±2,... .
n
Eine solche Spirale ist eine höhere Parabel vom Typus
(x + iy)p (x—iyjq — k = 0 p, q = 0,±1, ±2,... ;
dabei sind p und q zueinander relativ prim, k ist wieder komplex.
Der Schnittwinkel a ist hier bestimmt durch
p — q
cotga =-♦ i .
p+q
Isotrope Schnittwinkel und nur sie führen auf isotrope Ge-
rade als logarithmische Spiralen. Die algebraische Spirale niedrig-
ster Ordnung anisotropen Schnittwinkels ist die Parabel
(6) iy-k(x(~} iyf = 0 ;
hier ist cotg a = 3 i.
8. Von den zahlreichen Sätzen über logarithmische Spiralen
mit anisotropem Schnitt winkel — gleichgültig, ob sie algebraisch
sind oder nicht — seien einige als für die späteren Betrachtungen
notwendig angeführt:
a) Aus der Gl. (4) ist ohne weiteres zu entnehmen, daß eine
logarithmische Spirale anisotropen Schnittwinkels die von ihrem
Pol ausgehenden isotropen Geraden außerhalb des Poles im End-
lichen nicht treffen kann.
definiert, welche von einem festen Punkt einen gegebenen, bestimmten Ab-
stand haben. Tatsächlich sucht man aber die Gleichung, welcher die Punkte
mit der erwähnten Abstandsdefinition genügen, und bezeichnet dann als
Kreis die Kurve, welche aus allen Punkten besteht, die (unabhängig von der
ursprünglichen Definition) diese Gleichung erfüllen, und zu diesen gehören
auch die absoluten Punkte.
(A. 10) 15
7. Während die reellen ebenen logarithmischen Spiralen tran-
szendente Kurven sind, gibt es, wie man aus der Gl. (4) sofort er-
kennt, spezielle, imaginäre logarithmische Spiralen, die algebra-
ische Kurven sind. Eine notwendige und hinreichende Bedingung
dafür, daß eine logarithmische Spirale algebraisch ist, besteht
darin, daß a (der Gotangens des Schnittwinkels) ein rationales
Vielfaches von i ist,
/r\ m
(5) a --I m,n = ±1, ±2,... .
n
Eine solche Spirale ist eine höhere Parabel vom Typus
(x + iy)p (x—iyjq — k = 0 p, q = 0,±1, ±2,... ;
dabei sind p und q zueinander relativ prim, k ist wieder komplex.
Der Schnittwinkel a ist hier bestimmt durch
p — q
cotga =-♦ i .
p+q
Isotrope Schnittwinkel und nur sie führen auf isotrope Ge-
rade als logarithmische Spiralen. Die algebraische Spirale niedrig-
ster Ordnung anisotropen Schnittwinkels ist die Parabel
(6) iy-k(x(~} iyf = 0 ;
hier ist cotg a = 3 i.
8. Von den zahlreichen Sätzen über logarithmische Spiralen
mit anisotropem Schnitt winkel — gleichgültig, ob sie algebraisch
sind oder nicht — seien einige als für die späteren Betrachtungen
notwendig angeführt:
a) Aus der Gl. (4) ist ohne weiteres zu entnehmen, daß eine
logarithmische Spirale anisotropen Schnittwinkels die von ihrem
Pol ausgehenden isotropen Geraden außerhalb des Poles im End-
lichen nicht treffen kann.
definiert, welche von einem festen Punkt einen gegebenen, bestimmten Ab-
stand haben. Tatsächlich sucht man aber die Gleichung, welcher die Punkte
mit der erwähnten Abstandsdefinition genügen, und bezeichnet dann als
Kreis die Kurve, welche aus allen Punkten besteht, die (unabhängig von der
ursprünglichen Definition) diese Gleichung erfüllen, und zu diesen gehören
auch die absoluten Punkte.