Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 17
§3.
Einige Spezialfälle der Isogonalflächen eines
Strahlenbündels.
10. Den allgemeinen Betrachtungen über die Isogonal fläch en
eines Strahlenbündels möge die Erörterung einiger spezieller Fälle
vorausgeschickt werden, von denen dann später abzusehen sein
wird. Es sei bemerkt, daß grundsätzlich eine Fläche nur soweit als
Isogonalfläche angesprochen wird, als sie die Strahlen eines Bündels
unter einem Winkel mit bestimmtem Tangens1 trifft (vgl. dagegen
Nr. 2, III a, c, IV b und den Fall jedes Kegels in bezug auf das
Strahlenbündel durch seine Spitze).
[A] sei seine Fläche, welche die Strahlen eines Bündels mit
dem Mittelpunkt 0 unter einem (komplexen) Winkel a mit kon-
stantem (Grenz-) Werte des Tangens schneidet; 0 werde als Pol2
der Fläche bezeichnet.
Zunächst kann man nach Nr. 2, Illb und IVa jede Fläche
als Isogonalfläche eines Strahlenbündels auffassen, dessen Mittel-
punkt auf dem absoluten Kegelschnitte liegt; dabei sind die
Schnittwinkel nach Nr. 1, Gl. (1) isotrop. Deshalb sollen weiterhin
nur Punkte außerhalb des absoluten Kegelschnittes für den Pol
in Betracht kommen.
Als einfachste Flächen [A] sind die Kugel zu erwähnen, für
welche der Schnittwinkel nf2 und der Kugelmittelpunkt Pol ist,
und die anisotropen Ebenen, für die jeder uneigentliche Punkt des
Raumes als Pol aufgefaßt werden kann, während nach Nr. 2, IV a
für eine isotrope Ebene jeder Punkt des Raumes Pol ist, die un-
eigentlichen Punkte der Ebene ausgenommen.
11. Wenn für eine Fläche [A] der konstante Schnitt winkel
isotrop ist, dann kommt für den Winkel zwischen dem Radius-
vektor vom Pole nach einem Flächenpunkt und der Tangential-
ebene in diesem Punkte nach Nr. 2 nur der Fall III b oder IV a
1 Die isotropen Winkel nehmen insofern eine Art Mittelstellung zwischen
bestimmten und unbestimmten Winkeln ein, als zwar ihr Tangens bestimmt
ist, sie selbst aber nicht bis auf Vielfache von trc bestimmt sind. Da hier immer
die Tangenswerte der Winkel auftreten, werden die isotropen mit den be-
stimmten Winkeln zusammengefaßt.
2 Diese Bezeichnung ist von der logarithmischen Spirale übernommen.
Sitzungsberichte d. Heidelb.Akad., math.-naturw. Kl. A. 1921. 10. Abb.
(A. 10) 17
§3.
Einige Spezialfälle der Isogonalflächen eines
Strahlenbündels.
10. Den allgemeinen Betrachtungen über die Isogonal fläch en
eines Strahlenbündels möge die Erörterung einiger spezieller Fälle
vorausgeschickt werden, von denen dann später abzusehen sein
wird. Es sei bemerkt, daß grundsätzlich eine Fläche nur soweit als
Isogonalfläche angesprochen wird, als sie die Strahlen eines Bündels
unter einem Winkel mit bestimmtem Tangens1 trifft (vgl. dagegen
Nr. 2, III a, c, IV b und den Fall jedes Kegels in bezug auf das
Strahlenbündel durch seine Spitze).
[A] sei seine Fläche, welche die Strahlen eines Bündels mit
dem Mittelpunkt 0 unter einem (komplexen) Winkel a mit kon-
stantem (Grenz-) Werte des Tangens schneidet; 0 werde als Pol2
der Fläche bezeichnet.
Zunächst kann man nach Nr. 2, Illb und IVa jede Fläche
als Isogonalfläche eines Strahlenbündels auffassen, dessen Mittel-
punkt auf dem absoluten Kegelschnitte liegt; dabei sind die
Schnittwinkel nach Nr. 1, Gl. (1) isotrop. Deshalb sollen weiterhin
nur Punkte außerhalb des absoluten Kegelschnittes für den Pol
in Betracht kommen.
Als einfachste Flächen [A] sind die Kugel zu erwähnen, für
welche der Schnittwinkel nf2 und der Kugelmittelpunkt Pol ist,
und die anisotropen Ebenen, für die jeder uneigentliche Punkt des
Raumes als Pol aufgefaßt werden kann, während nach Nr. 2, IV a
für eine isotrope Ebene jeder Punkt des Raumes Pol ist, die un-
eigentlichen Punkte der Ebene ausgenommen.
11. Wenn für eine Fläche [A] der konstante Schnitt winkel
isotrop ist, dann kommt für den Winkel zwischen dem Radius-
vektor vom Pole nach einem Flächenpunkt und der Tangential-
ebene in diesem Punkte nach Nr. 2 nur der Fall III b oder IV a
1 Die isotropen Winkel nehmen insofern eine Art Mittelstellung zwischen
bestimmten und unbestimmten Winkeln ein, als zwar ihr Tangens bestimmt
ist, sie selbst aber nicht bis auf Vielfache von trc bestimmt sind. Da hier immer
die Tangenswerte der Winkel auftreten, werden die isotropen mit den be-
stimmten Winkeln zusammengefaßt.
2 Diese Bezeichnung ist von der logarithmischen Spirale übernommen.
Sitzungsberichte d. Heidelb.Akad., math.-naturw. Kl. A. 1921. 10. Abb.