Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 19
Im ersten Falle bestünde die Fläche aus isotropen Geraden,
die alle durch den einen der absoluten Punkte der zur festen Rich-
tung normalen Ebenen gingen, wäre also ein isotroper Zylinder.
Die uneigentlichen Punkte aller Normalen eines solchen Zylinders
sind Punkte einer Tangente des absoluten Kegelschnittes (durch
deren Berührungspunkt alle Zylindererzeugenden hindurchgehen)
und können mit einer festen Richtung keinen festen Winkel ein-
schließen, außer, wenn diese isotrop ist oder trifft. Diese beiden
Ausnahmefälle sind aber durch Nr. 2, III u. IV, sowie Nr. 1, II in
Verbindung mit dem 1. Absätze von Nr. 10 und VI ausgeschlossen.
14. Demnach bleibt nur der zweite Fall übrig, jede Normal-
ebene des Parallelstrahlenbündels schneidet die Fläche [A] in einer
anisotropen Kurve, und zwar unter konstantem Winkel, (ä) sei
irgendeine dieser Kurven. Nach dem bekannten Satze:
»Wird eine Fläche, deren Tangentialebenen sämtlich anisotrop
sind, von einer anisotropen Ebene oder einer Kugel längs einer
anisotropen regulären Kurve unter konstantem, anisotropem Win-
kel geschnitten, dann ist diese Kurve Krümmungslinie der Fläche«1,
dessen Voraussetzungen wegen VI und Nr. 11 u. 13 erfüllt sind,
ist (ä) eine Krümmungslinie der Fläche, soweit auf (A) kein sin-
gulärer Punkt auftritt.
[A] ist ein Spezialfall der zuerst von G. Monge untersuchten
zylindrischen Gesimsflächen, welche dadurch charakterisiert sind,
daß die Einzelkurven einer Schar ihrer Krümmungslinien in par-
allelen Ebenen liegen2. Diese Flächen werden im Reellen von einer
ebenen Kurve erzeugt, deren Ebene — außer im Falle der reinen
Translation — auf einem Zylinder ohne zu gleiten rollt. Komplex
gesprochen: Ist eine von einem Parameter abhängige Schar von
1 Die bekannten Sätze über das gegenseitige Schneiden von Flächen in
Krümmungslinien unter konstantem Winkel, sowie ihre Umkehrungen und
die speziellen Anwendungen auf Schnitte mit Kugeln und Ebenen gelten im
Komplexen, wenn man einige Einschränkungen macht, wie sie die hier gegebene
Fassung des einen Satzes enthält. Über den Begriff der regulären Kurve
vgl. Nr. 18b. Ohne diese Voraussetzungen gelten z. B. in dem Buche von
G. Scheffers Einführung in die Theorie und Flächen, 2. Aufl. Leipzig 1913
die Sätze 70-76, S. 216-219, nur für reelle Flächen, Kurven und Winkel.
Ein imaginäres Gegenbeispiel zu Satz 76 ist der hier in Nr. 4 erwähnte Satz,
der dort S. 215 auftritt.
2 R. v. Lilienthal, Besondere Flächen. Enz. d. math. Wiss. III 3, 2/3,
D5, Nr. 13.
2*
(A. 10) 19
Im ersten Falle bestünde die Fläche aus isotropen Geraden,
die alle durch den einen der absoluten Punkte der zur festen Rich-
tung normalen Ebenen gingen, wäre also ein isotroper Zylinder.
Die uneigentlichen Punkte aller Normalen eines solchen Zylinders
sind Punkte einer Tangente des absoluten Kegelschnittes (durch
deren Berührungspunkt alle Zylindererzeugenden hindurchgehen)
und können mit einer festen Richtung keinen festen Winkel ein-
schließen, außer, wenn diese isotrop ist oder trifft. Diese beiden
Ausnahmefälle sind aber durch Nr. 2, III u. IV, sowie Nr. 1, II in
Verbindung mit dem 1. Absätze von Nr. 10 und VI ausgeschlossen.
14. Demnach bleibt nur der zweite Fall übrig, jede Normal-
ebene des Parallelstrahlenbündels schneidet die Fläche [A] in einer
anisotropen Kurve, und zwar unter konstantem Winkel, (ä) sei
irgendeine dieser Kurven. Nach dem bekannten Satze:
»Wird eine Fläche, deren Tangentialebenen sämtlich anisotrop
sind, von einer anisotropen Ebene oder einer Kugel längs einer
anisotropen regulären Kurve unter konstantem, anisotropem Win-
kel geschnitten, dann ist diese Kurve Krümmungslinie der Fläche«1,
dessen Voraussetzungen wegen VI und Nr. 11 u. 13 erfüllt sind,
ist (ä) eine Krümmungslinie der Fläche, soweit auf (A) kein sin-
gulärer Punkt auftritt.
[A] ist ein Spezialfall der zuerst von G. Monge untersuchten
zylindrischen Gesimsflächen, welche dadurch charakterisiert sind,
daß die Einzelkurven einer Schar ihrer Krümmungslinien in par-
allelen Ebenen liegen2. Diese Flächen werden im Reellen von einer
ebenen Kurve erzeugt, deren Ebene — außer im Falle der reinen
Translation — auf einem Zylinder ohne zu gleiten rollt. Komplex
gesprochen: Ist eine von einem Parameter abhängige Schar von
1 Die bekannten Sätze über das gegenseitige Schneiden von Flächen in
Krümmungslinien unter konstantem Winkel, sowie ihre Umkehrungen und
die speziellen Anwendungen auf Schnitte mit Kugeln und Ebenen gelten im
Komplexen, wenn man einige Einschränkungen macht, wie sie die hier gegebene
Fassung des einen Satzes enthält. Über den Begriff der regulären Kurve
vgl. Nr. 18b. Ohne diese Voraussetzungen gelten z. B. in dem Buche von
G. Scheffers Einführung in die Theorie und Flächen, 2. Aufl. Leipzig 1913
die Sätze 70-76, S. 216-219, nur für reelle Flächen, Kurven und Winkel.
Ein imaginäres Gegenbeispiel zu Satz 76 ist der hier in Nr. 4 erwähnte Satz,
der dort S. 215 auftritt.
2 R. v. Lilienthal, Besondere Flächen. Enz. d. math. Wiss. III 3, 2/3,
D5, Nr. 13.
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