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https://doi.org/10.11588/diglit.56264#0022
22 (A. 10)
Richard Baldus:
mit dem System konzentrischer Kugeln mit dem Mittelpunkt 0,
dann können diese Schnittkurven nicht isotrop sein.
Denn angenommen, sie wären es, dann müßte die Fläche, weil
die isotropen Kurven der Kugeln isotrope Gerade sind, eine iso-
trope Regelfläche sein (Nr. 4). Da deren Erzeugende auf den Ku-
geln um 0 lägen, würden sie aus 0 durch isotrope Ebenen proji-
ziert werden, die uneigentlichen Geraden der Tangentialebenen
längs einer solchen Erzeugenden würden alle durch den absoluten
Punkt der Erzeugenden gehen, daher würde — das folgt aus dem
Verhalten zum absoluten Kegelschnitte - die Flächennormale in
einem Punkte P der Erzeugenden mit dem Strahl OP nach Nr. 1,
II a einen Winkel 0 einschließen, der zufolge Nr. 2, III a wieder
auf einen unbestimmten Schnittwinkel des Strahlenbündels mit
der Fläche führen würde, wenn nicht OP mit der Flächennormale
identisch wäre, der Fall der Kugel vorläge. Das erste widerspricht
dem 1. Absätze von Nr. 10, das zweite F2. Damit ist auch gezeigt:
Keine isotrope Regelfläche ist gleichzeitig eine Fläche [_P].
Läge ein eigentlicher Punkt A einer Fläche [P] gleichzeitig
auf dem isotropen Kegel aus 0, dann könnte der Strahl OA die
Tangentialebene der Fläche in A nach Nr. 2, III u. IV nur unter
einem isotropen oder unbestimmten Winkel schneiden, was V1
oder dem Begriffe der Isogonalfläche nach Nr. 10 widerspräche.
Daraus folgt, weil [P] nach Nr. 16 ganz im Endlichen verläuft:
Eine Fläche [P] trifft den isotropen Kegel aus 0 nicht.
18. Es sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem (dessen
Achsen und Ebenen nach Nr. 3 anisotrop sind) mit dem (eigent-
lichen) Anfangspunkt 0 angenommen. In diesem System sei eine,
im übrigen beliebige, komplexe Fläche gegeben, die keine Kugel
um 0 ist und deren Tangentialebenen sämtlich anisotrop sind.
Diese Fläche werde mit der Schar konzentrischer Kugeln mit dem
gemeinsamen Mittelpunkt 0 geschnitten. Dabei seien
a) diese sphärischen Schnitt kurven überall anisotrop. Sie
sollen als Kurven z> = const auf der Fläche gewählt werden. Die
Fläche sei mm so definiert, daß
b) für keinen Punkt dieser sphärischen Kurven xu = yu = zu = 0
ist, d. h. die Kurven haben keinen singulären Punkt, sind regulär.
Vermöge a), der anisotropen Tangentialebenen und Nr. 1, I sind
Richard Baldus:
mit dem System konzentrischer Kugeln mit dem Mittelpunkt 0,
dann können diese Schnittkurven nicht isotrop sein.
Denn angenommen, sie wären es, dann müßte die Fläche, weil
die isotropen Kurven der Kugeln isotrope Gerade sind, eine iso-
trope Regelfläche sein (Nr. 4). Da deren Erzeugende auf den Ku-
geln um 0 lägen, würden sie aus 0 durch isotrope Ebenen proji-
ziert werden, die uneigentlichen Geraden der Tangentialebenen
längs einer solchen Erzeugenden würden alle durch den absoluten
Punkt der Erzeugenden gehen, daher würde — das folgt aus dem
Verhalten zum absoluten Kegelschnitte - die Flächennormale in
einem Punkte P der Erzeugenden mit dem Strahl OP nach Nr. 1,
II a einen Winkel 0 einschließen, der zufolge Nr. 2, III a wieder
auf einen unbestimmten Schnittwinkel des Strahlenbündels mit
der Fläche führen würde, wenn nicht OP mit der Flächennormale
identisch wäre, der Fall der Kugel vorläge. Das erste widerspricht
dem 1. Absätze von Nr. 10, das zweite F2. Damit ist auch gezeigt:
Keine isotrope Regelfläche ist gleichzeitig eine Fläche [_P].
Läge ein eigentlicher Punkt A einer Fläche [P] gleichzeitig
auf dem isotropen Kegel aus 0, dann könnte der Strahl OA die
Tangentialebene der Fläche in A nach Nr. 2, III u. IV nur unter
einem isotropen oder unbestimmten Winkel schneiden, was V1
oder dem Begriffe der Isogonalfläche nach Nr. 10 widerspräche.
Daraus folgt, weil [P] nach Nr. 16 ganz im Endlichen verläuft:
Eine Fläche [P] trifft den isotropen Kegel aus 0 nicht.
18. Es sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem (dessen
Achsen und Ebenen nach Nr. 3 anisotrop sind) mit dem (eigent-
lichen) Anfangspunkt 0 angenommen. In diesem System sei eine,
im übrigen beliebige, komplexe Fläche gegeben, die keine Kugel
um 0 ist und deren Tangentialebenen sämtlich anisotrop sind.
Diese Fläche werde mit der Schar konzentrischer Kugeln mit dem
gemeinsamen Mittelpunkt 0 geschnitten. Dabei seien
a) diese sphärischen Schnitt kurven überall anisotrop. Sie
sollen als Kurven z> = const auf der Fläche gewählt werden. Die
Fläche sei mm so definiert, daß
b) für keinen Punkt dieser sphärischen Kurven xu = yu = zu = 0
ist, d. h. die Kurven haben keinen singulären Punkt, sind regulär.
Vermöge a), der anisotropen Tangentialebenen und Nr. 1, I sind