26 (A. 10)
Richard Baldus:
(20)
£ = X («, V) + t • xv (w, v) ,
t] = y(u,v) + t- yv(u,v) ,
t = z (u,v) + t • zv (u,v) ,
während
(21) £ • xu(u,v) + 7] ■ yu(u,v) + c • zu(u,v) = 0
die Ebene durch 0 und A ist, welche zur Tangente der sphäri-
schen Kurve in A senkrecht steht und nach (8) und (9) die Tan-
gente (20) enthält (was auch an sich klar ist); ebenso liegt in die-
ser Ebene die Normale der Fläche im Punkt A.
Der Richtungskosinus der Normalen n der Ebene (21) gegen
die X-Achse hat den Wert
Xu . , . . tfcosz
cos 2 = - . dabei ist —--= 0 ,
was man mit Hilfe der Gl. (19) findet. Entsprechend sind auch
die Winkel von n gegen die beiden andern Koordinatenachsen
unabhängig von y, folglich ist die Ebene (21), die immer durch
O geht, nur durch u bestimmt, die Kurven u = const sind ebene
Kurven1, und zwar (da in ihren Ebenen die Flächennormalen lie-
gen und diese mit den Radienvektoren nach den zugehörigen
Flächenpunkten konstante Winkel einschließen) Isogonaltrajek-
torien von Strahlenbüscheln, logarithmische Spiralen.
Jede anisotrope Kugel mit dem Mittelpunkt 0 schneidet nach
Nr. 16, 18 und 19 die Fläche [P] in einer Kurve (Ca) unter einem
festen, anisotropen Winkel tc/2 — a und folglich in einer Krüm-
mungslinie. Nimmt man dazu das eben abgeleitete Ergebnis, so
folgt daraus der schon in der Einleitung erwähnte Satz:
1 Die Gl. (8), (9), (17) und (18), aus denen die hier benützten GL (19)
folgen, sagen nur aus, daß irgendeine Fläche ein System konzentrisch-sphä-
rischer, anisotroper Krümmungslinien besitzt, da sich (17), wie man sofort
d cos ID
berechnet, aus den drei übrigen Gleichungen und —--= 0 ergibt. Damit
o u
ist hier der schon bekannte Satz abgeleitet, daß die zweite Schar der Krüm-
mungslinien einer solchen Fläche eben ist. Vgl. z. B. A. Enneper, Unter-
suchungen über die Flächen mit planen und sphärischen Krümmungslinien.
Abhdlgn. d. K. Ges. d. Wiss. z. Göttingen Bd. 26, 1880, S. 23.
Richard Baldus:
(20)
£ = X («, V) + t • xv (w, v) ,
t] = y(u,v) + t- yv(u,v) ,
t = z (u,v) + t • zv (u,v) ,
während
(21) £ • xu(u,v) + 7] ■ yu(u,v) + c • zu(u,v) = 0
die Ebene durch 0 und A ist, welche zur Tangente der sphäri-
schen Kurve in A senkrecht steht und nach (8) und (9) die Tan-
gente (20) enthält (was auch an sich klar ist); ebenso liegt in die-
ser Ebene die Normale der Fläche im Punkt A.
Der Richtungskosinus der Normalen n der Ebene (21) gegen
die X-Achse hat den Wert
Xu . , . . tfcosz
cos 2 = - . dabei ist —--= 0 ,
was man mit Hilfe der Gl. (19) findet. Entsprechend sind auch
die Winkel von n gegen die beiden andern Koordinatenachsen
unabhängig von y, folglich ist die Ebene (21), die immer durch
O geht, nur durch u bestimmt, die Kurven u = const sind ebene
Kurven1, und zwar (da in ihren Ebenen die Flächennormalen lie-
gen und diese mit den Radienvektoren nach den zugehörigen
Flächenpunkten konstante Winkel einschließen) Isogonaltrajek-
torien von Strahlenbüscheln, logarithmische Spiralen.
Jede anisotrope Kugel mit dem Mittelpunkt 0 schneidet nach
Nr. 16, 18 und 19 die Fläche [P] in einer Kurve (Ca) unter einem
festen, anisotropen Winkel tc/2 — a und folglich in einer Krüm-
mungslinie. Nimmt man dazu das eben abgeleitete Ergebnis, so
folgt daraus der schon in der Einleitung erwähnte Satz:
1 Die Gl. (8), (9), (17) und (18), aus denen die hier benützten GL (19)
folgen, sagen nur aus, daß irgendeine Fläche ein System konzentrisch-sphä-
rischer, anisotroper Krümmungslinien besitzt, da sich (17), wie man sofort
d cos ID
berechnet, aus den drei übrigen Gleichungen und —--= 0 ergibt. Damit
o u
ist hier der schon bekannte Satz abgeleitet, daß die zweite Schar der Krüm-
mungslinien einer solchen Fläche eben ist. Vgl. z. B. A. Enneper, Unter-
suchungen über die Flächen mit planen und sphärischen Krümmungslinien.
Abhdlgn. d. K. Ges. d. Wiss. z. Göttingen Bd. 26, 1880, S. 23.