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https://doi.org/10.11588/diglit.56264#0027
Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 27
Die Krümmungslinien einer Fläche [P] mit dem Schnittwinkel
a sind Kurven (C^, u.z. die des einen Systems sphärisch mit dem
Pol 0 der Fläche als gemeinsamem Kugelmittelpunkt, die des andern
Systems ebene logarithmische Spiralen — deren uneigentliche Punkte
ausgenommen —mit dem gemeinsamen Pol 0 und dem Schnittwinkel a.
Die Normalen der Spiralen in ihren Ebenen sind gleichzeitig
die Flächennormalen. Ist T ein Flächenpunkt, t seine Tangential-
ebene, dann trifft das Lot aus 0 auf r die in T an die logarith-
mische Krümmungslinie gelegte Tangente.
Ist (L) die logarithmische Krümmungslinie eines Punktes A
von [P], dann sind die Tangentialebenen von [P] in allen Schnitt-
punkten der Geraden OA mit (L) zueinander parallel.
Die Spiralenebenen sind anisotrop, da ihre Normalen die Tan-
genten der sphärischen Krümmungslinien sind, und diese sind nach
Nr. 17 anisotrop.
Weil jede reelle logarithmische Spirale von jedem reellen
Kreise, für den der Pol der Spirale Mittelpunkt ist, nur in einem
reellen Punkte getroffen wird, schneidet bei reellen Flächen [P]
jede sphärische Krümmungslinie jede logarithmische Krümmungs-
linie nur einmal.
21. Der Satz von Nr. 20 gestattet sofort einige Umkehrun-
gen, die zeigen, wie viele von den in ihm angegebenen Eigenschaf-
ten der Krümmungslinien zur Charakterisierung einer Fläche als
Fläche [P] notwendig und hinreichend sind. Beispielsweise:
Enthält eine Fläche [Fj auf konzentrischen Kugeln1 mit dem
Mittelpunkt 0 eine Schar von Kurven, deren Orthogonaltrajektorien
in Ebenen durch 0 liegen, und bestehen beide Scharen aus Kurven
(C^, dann ist die Fläche eine Fläche [P] mit dem Pol 0, wenn eine
der Orthogonaltrafektorien, die alle sphärischen Kurven trifft, eine
logarithmische Spirale mit dem Pol 0 ist2.
Denn zunächst sind hier die Gl. (8), (9) und (18), sowie die
Ungl. (7) erfüllt. Die Normalebene zur sphärischen Kurve in einem
Punkte der Fläche hat die Gl. (21). In diesen Ebenen liegen die
ebenen Orthogonaltrajektorien, außerdem gelten die Gleichungen
1 die nach den in Nr. 18 angegebenen Eigenschaften der Flächen [FJ
anisotrop sind (Nr. 1, erste Anmerkung).
2 Die Orthogonaltrajektorien sind hier von selbst anisotrop. Deshalb
folgt die Tatsache, daß der Schnittwinkel der Spirale anisotrop ist, nach Nr. 7
aus den übrigen in diesem Satz ausgesprochenen Voraussetzungen. Dasselbe
gilt von den 3 Sätzen von Nr. 22 und dem 2. Satze von Nr. 24.
(A. 10) 27
Die Krümmungslinien einer Fläche [P] mit dem Schnittwinkel
a sind Kurven (C^, u.z. die des einen Systems sphärisch mit dem
Pol 0 der Fläche als gemeinsamem Kugelmittelpunkt, die des andern
Systems ebene logarithmische Spiralen — deren uneigentliche Punkte
ausgenommen —mit dem gemeinsamen Pol 0 und dem Schnittwinkel a.
Die Normalen der Spiralen in ihren Ebenen sind gleichzeitig
die Flächennormalen. Ist T ein Flächenpunkt, t seine Tangential-
ebene, dann trifft das Lot aus 0 auf r die in T an die logarith-
mische Krümmungslinie gelegte Tangente.
Ist (L) die logarithmische Krümmungslinie eines Punktes A
von [P], dann sind die Tangentialebenen von [P] in allen Schnitt-
punkten der Geraden OA mit (L) zueinander parallel.
Die Spiralenebenen sind anisotrop, da ihre Normalen die Tan-
genten der sphärischen Krümmungslinien sind, und diese sind nach
Nr. 17 anisotrop.
Weil jede reelle logarithmische Spirale von jedem reellen
Kreise, für den der Pol der Spirale Mittelpunkt ist, nur in einem
reellen Punkte getroffen wird, schneidet bei reellen Flächen [P]
jede sphärische Krümmungslinie jede logarithmische Krümmungs-
linie nur einmal.
21. Der Satz von Nr. 20 gestattet sofort einige Umkehrun-
gen, die zeigen, wie viele von den in ihm angegebenen Eigenschaf-
ten der Krümmungslinien zur Charakterisierung einer Fläche als
Fläche [P] notwendig und hinreichend sind. Beispielsweise:
Enthält eine Fläche [Fj auf konzentrischen Kugeln1 mit dem
Mittelpunkt 0 eine Schar von Kurven, deren Orthogonaltrajektorien
in Ebenen durch 0 liegen, und bestehen beide Scharen aus Kurven
(C^, dann ist die Fläche eine Fläche [P] mit dem Pol 0, wenn eine
der Orthogonaltrafektorien, die alle sphärischen Kurven trifft, eine
logarithmische Spirale mit dem Pol 0 ist2.
Denn zunächst sind hier die Gl. (8), (9) und (18), sowie die
Ungl. (7) erfüllt. Die Normalebene zur sphärischen Kurve in einem
Punkte der Fläche hat die Gl. (21). In diesen Ebenen liegen die
ebenen Orthogonaltrajektorien, außerdem gelten die Gleichungen
1 die nach den in Nr. 18 angegebenen Eigenschaften der Flächen [FJ
anisotrop sind (Nr. 1, erste Anmerkung).
2 Die Orthogonaltrajektorien sind hier von selbst anisotrop. Deshalb
folgt die Tatsache, daß der Schnittwinkel der Spirale anisotrop ist, nach Nr. 7
aus den übrigen in diesem Satz ausgesprochenen Voraussetzungen. Dasselbe
gilt von den 3 Sätzen von Nr. 22 und dem 2. Satze von Nr. 24.