28 (A. 10)
Richard Baldus:
Zu
v .
9 v
aus denen man die GL (19) berechnet. Diese in GL (8) eingesetzt,
geben
(22) Sxvxuv = 0,
und aus (8), (9), (18) und (22) folgt (vgl. (10)):
-= 0 oder y> = f\y).
9 u
Diese Funktion ist aber eine Konstante wegen der einen logarith-
mischen Spirale, demnach ist auch der Winkel % (vgl. (12)), den
die Flächennormalen mit den zugehörigen Radienvektoren bilden,
konstant, was zu beweisen war.
Ist nicht eine der Orthogonaltrajektorien eine logarithmische
Spirale mit dem Pol 0, dann schneidet trotzdem jede Kugel mit
dem Mittelpunkt 0 die Fläche unter einem für die Kugel kon-
stanten Winkel1. Damit ist ein Satz abgeleitet, der später noch
verwendet werden wird:
Wird eine Fläche [Fj von einem System konzentrischer Kugeln
mit dem Mittelpunkt 0 in einer Schar von Kurven geschnitten, deren
Orthogonaltrajektorien in Ebenen durch O liegen, und bestehen beide
Scharen aus Kurven , dann sind diese Kurven die Krümmungs-
linien der Fläche.
22. Entsprechend beweist man den folgenden Satz:
Jede Fläche [Fj, die zwei Systeme zueinander orthogonaler Kur-
ven enthält, deren eines konzentrisch sphärisch auf Kugeln mit
dem Mittelpunkt 0 ist, während die Kurven des andern die Strahlen
des Bündels um 0 unter einem festen Winkel treffen, ist eine Fläche
[P] mit dem Pol 0.
Denn aus (8), (9) und tp = const folgt vermöge (12) auch
% = const.
1 Der aber nicht für alle Kugeln gleich ist.
Richard Baldus:
Zu
v .
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aus denen man die GL (19) berechnet. Diese in GL (8) eingesetzt,
geben
(22) Sxvxuv = 0,
und aus (8), (9), (18) und (22) folgt (vgl. (10)):
-= 0 oder y> = f\y).
9 u
Diese Funktion ist aber eine Konstante wegen der einen logarith-
mischen Spirale, demnach ist auch der Winkel % (vgl. (12)), den
die Flächennormalen mit den zugehörigen Radienvektoren bilden,
konstant, was zu beweisen war.
Ist nicht eine der Orthogonaltrajektorien eine logarithmische
Spirale mit dem Pol 0, dann schneidet trotzdem jede Kugel mit
dem Mittelpunkt 0 die Fläche unter einem für die Kugel kon-
stanten Winkel1. Damit ist ein Satz abgeleitet, der später noch
verwendet werden wird:
Wird eine Fläche [Fj von einem System konzentrischer Kugeln
mit dem Mittelpunkt 0 in einer Schar von Kurven geschnitten, deren
Orthogonaltrajektorien in Ebenen durch O liegen, und bestehen beide
Scharen aus Kurven , dann sind diese Kurven die Krümmungs-
linien der Fläche.
22. Entsprechend beweist man den folgenden Satz:
Jede Fläche [Fj, die zwei Systeme zueinander orthogonaler Kur-
ven enthält, deren eines konzentrisch sphärisch auf Kugeln mit
dem Mittelpunkt 0 ist, während die Kurven des andern die Strahlen
des Bündels um 0 unter einem festen Winkel treffen, ist eine Fläche
[P] mit dem Pol 0.
Denn aus (8), (9) und tp = const folgt vermöge (12) auch
% = const.
1 Der aber nicht für alle Kugeln gleich ist.