Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 29
Nach dem bekannten Satz über Flächen, welche sich in Krüm-
mungslinien schneiden - in dem vorausgesetzt ist, daß die Flä-
chen anisotrope Tangentialebenen haben und sich in regulären,
überall anisotropen Kurven unter anisotropen Winkeln schnei-
den —, ergibt sich:
Liegen die Krümmungslinien (Ca) des einen Systems einer Fläche
[Fj auf um 0 konzentrischen Kugeln, und ist eine Krümmungslinie
der zweiten Schar, welche alle Krümmungslinien des ersten Systems
trifft, eine logarithmische Spirale mit dem gemeinsamen Kugelmittel-
punkt als Pol, dann liegt eine Fläche [P] vor.
Das Gegenstück hierzu bildet der Satz:
Eine Fläche [Fj ist als Fläche [P] dadurch charakterisiert, daß
die Krümmungslinien des einen Systems kongruente (ebene) loga-
rithmische Spiralen mit dem gemeinsamen (eigentlichen) Pol 0 sind,
während eine sie alle treffende Krümmungslinie der andern Schar
auf einer Kugel um 0 liegt.
Denn jede Spiralebene trifft die Fläche unter einem festen
Winkel, längs der sphärischen Krümmungslinie stehen die Tan-
gentialebenen der Fläche auf den Spiralebenen senkrecht, dem-
nach sind die festen Schnittwinkel der Tangentialebenen alle gleich
rzr/2 . Folglich sind die Flächennormalen gleichzeitig die Normalen
der Spiralen in ihren Ebenen, und diese schließen mit den Radien-
vektoren nach dem Pol 0 einen konstanten Winkel ein.
23. Nach Gl. (8) und (16) hat das Längenelement der Flä-
chen [P] die Form
(23) ds2 = (E^)du2 + dv2,
dabei ist der konstante Schnittwinkel a der Fläche nach (10) be-
stimmt durch
Exxv
außerdem ist
(9) Z = 0 .
Nach Nr. 20 sind die logarithmischen Krümmungshmen
u = const geodätische Linien der Fläche als Kurven, deren Schmie-
(A. 10) 29
Nach dem bekannten Satz über Flächen, welche sich in Krüm-
mungslinien schneiden - in dem vorausgesetzt ist, daß die Flä-
chen anisotrope Tangentialebenen haben und sich in regulären,
überall anisotropen Kurven unter anisotropen Winkeln schnei-
den —, ergibt sich:
Liegen die Krümmungslinien (Ca) des einen Systems einer Fläche
[Fj auf um 0 konzentrischen Kugeln, und ist eine Krümmungslinie
der zweiten Schar, welche alle Krümmungslinien des ersten Systems
trifft, eine logarithmische Spirale mit dem gemeinsamen Kugelmittel-
punkt als Pol, dann liegt eine Fläche [P] vor.
Das Gegenstück hierzu bildet der Satz:
Eine Fläche [Fj ist als Fläche [P] dadurch charakterisiert, daß
die Krümmungslinien des einen Systems kongruente (ebene) loga-
rithmische Spiralen mit dem gemeinsamen (eigentlichen) Pol 0 sind,
während eine sie alle treffende Krümmungslinie der andern Schar
auf einer Kugel um 0 liegt.
Denn jede Spiralebene trifft die Fläche unter einem festen
Winkel, längs der sphärischen Krümmungslinie stehen die Tan-
gentialebenen der Fläche auf den Spiralebenen senkrecht, dem-
nach sind die festen Schnittwinkel der Tangentialebenen alle gleich
rzr/2 . Folglich sind die Flächennormalen gleichzeitig die Normalen
der Spiralen in ihren Ebenen, und diese schließen mit den Radien-
vektoren nach dem Pol 0 einen konstanten Winkel ein.
23. Nach Gl. (8) und (16) hat das Längenelement der Flä-
chen [P] die Form
(23) ds2 = (E^)du2 + dv2,
dabei ist der konstante Schnittwinkel a der Fläche nach (10) be-
stimmt durch
Exxv
außerdem ist
(9) Z = 0 .
Nach Nr. 20 sind die logarithmischen Krümmungshmen
u = const geodätische Linien der Fläche als Kurven, deren Schmie-