30 (A. 10)
Richard Baldus:
gungsebenen die Flächennormalen enthalten; aus der Form von
(23) ergibt sich anschließend, daß die Kurven v = const, die sphä-
rischen Krümmungslinien, geodätisch parallel sind1.
24. Es sei eine, im übrigen beliebige Fläche [Fj gegeben, die
ein System geodätisch paralleler, sphärischer Kurven (Ca), v=const
mit dem gemeinsamen Kugelmittelpunkt 0 enthält; dann gelten
für diese Fläche die Gl. (22) und (19). Desgleichen ist die Gl. (18),
die man nach Nr. 20 erhält, erfüllt, und aus diesen Gleichungen
folgt, wie man durch einfache Rechnung findet,
g Sw»
oder, was nach Nr. 18 dasselbe ist, d%ßu = 0, wobei % der Winkel
in einem Punkte der Fläche zwischen der Fläche und der sie
schneidenden Kugel mit dem Mittelpunkt 0 ist. Dieser Winkel
ist für die Kugel konstant, die sphärische Kurve demnach eine
Krümmungslinie der Fläche. D.h.:
Liegt auf einer Fläche [Fj eine Schar von geodätisch parallelen,
konzentrisch-sphärischen Kurven (Ga) auf Kugeln um 0, dann sind
diese Kurven Krümmungslinien der Fläche.
Dies gibt, zusammengehalten mit dem zweiten Satze von
Nr.22, den Satz:
Enthält eine Fläche [Fj ein System geodätisch paralleler sphä-
rischer Kurven (Ca) auf Kugeln mit dem gemeinsamen Mittelpunkt O
und ist eine, alle diese Kurven treffende, Orthogonaltrafektorie dieses
Systems eine ebene logarithmische Spirale mit dem Pol 0, dann ist
[Fj eine Fläche [PJ und 0 ihr Pol.
§6.
Isogonaltrajektorien der Krümmungslinien.
25. Es sei eine beliebige Fläche [Fj gegeben, außerdem ein
fester eigentlicher Raumpunkt O. Dann ist geometrisch leicht ein-
zusehen, daß man zwei, [Fj je einfach überdeckende Systeme
von (komplexen) Kurven und (L2) angeben kann von der
1 Hierauf beruht die, in der Einleitung erwähnte, erste Erzeugungsweise
der Flächen [P] bei G. Landsberg.
Richard Baldus:
gungsebenen die Flächennormalen enthalten; aus der Form von
(23) ergibt sich anschließend, daß die Kurven v = const, die sphä-
rischen Krümmungslinien, geodätisch parallel sind1.
24. Es sei eine, im übrigen beliebige Fläche [Fj gegeben, die
ein System geodätisch paralleler, sphärischer Kurven (Ca), v=const
mit dem gemeinsamen Kugelmittelpunkt 0 enthält; dann gelten
für diese Fläche die Gl. (22) und (19). Desgleichen ist die Gl. (18),
die man nach Nr. 20 erhält, erfüllt, und aus diesen Gleichungen
folgt, wie man durch einfache Rechnung findet,
g Sw»
oder, was nach Nr. 18 dasselbe ist, d%ßu = 0, wobei % der Winkel
in einem Punkte der Fläche zwischen der Fläche und der sie
schneidenden Kugel mit dem Mittelpunkt 0 ist. Dieser Winkel
ist für die Kugel konstant, die sphärische Kurve demnach eine
Krümmungslinie der Fläche. D.h.:
Liegt auf einer Fläche [Fj eine Schar von geodätisch parallelen,
konzentrisch-sphärischen Kurven (Ga) auf Kugeln um 0, dann sind
diese Kurven Krümmungslinien der Fläche.
Dies gibt, zusammengehalten mit dem zweiten Satze von
Nr.22, den Satz:
Enthält eine Fläche [Fj ein System geodätisch paralleler sphä-
rischer Kurven (Ca) auf Kugeln mit dem gemeinsamen Mittelpunkt O
und ist eine, alle diese Kurven treffende, Orthogonaltrafektorie dieses
Systems eine ebene logarithmische Spirale mit dem Pol 0, dann ist
[Fj eine Fläche [PJ und 0 ihr Pol.
§6.
Isogonaltrajektorien der Krümmungslinien.
25. Es sei eine beliebige Fläche [Fj gegeben, außerdem ein
fester eigentlicher Raumpunkt O. Dann ist geometrisch leicht ein-
zusehen, daß man zwei, [Fj je einfach überdeckende Systeme
von (komplexen) Kurven und (L2) angeben kann von der
1 Hierauf beruht die, in der Einleitung erwähnte, erste Erzeugungsweise
der Flächen [P] bei G. Landsberg.