Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 3d
gonaltrajektorie der Ebenenschar, dann schließt nach (24) die
Schnittlinie s der Ebene (c, t) und der Ebene e einen für die ganze
Kurve (A) konstanten Winkel (s,r) = a mit r ein. (c,/) ist die Tan-
gentialebene von [F^ in P, und weil diese senkrecht zur Ebene
(r, s) steht, schneiden alle Kugeln um 0 die Fläche [F~\ unter
demselben konstanten Winkel rc/2-a; die Fläche [Fj ist eine
Fläche [PJ, die Behauptung zu Beginn dieser Nr. ist bewiesen.
Die Ebenen (25) umhüllen den zur Fläche gehörenden Kegel
[A]. Auch hier ist wieder, wie in Nr. 31, die Bestimmung der
Fläche [P] nicht eindeutig.
34. Im Anschluß an den Satz von Nr. 33 erkennt man un-
schwer :
Enthält eine Fläche [Fj ein System anisotroper ebener logarith-
mischer Spiralen1 mit gemeinsamem (eigentlichem) Pol 0 und gleichem
Schnittwinkel a und schneiden längs einer alle Spiralen treffenden
Kurve der Fläche die Tangentialebenen der Fläche die Radien-
vektoren aus 0 unter dem konstanten, von tt/2 verschiedenen Winkel a,
dann liegt eine Fläche [P] vor.
Denn bei der Kurve (A) am Schlüsse der Nr. 33 ist s die Ortho-
gonalprojektion von r in die Tangentialebene (s, c) und es ist der
Winkel (s,r) = a. Dasselbe gilt im Falle des soeben ausgesproche-
nen Satzes für die Tangenten s der logarithmischen Spiralen längs
der ausgezeichneten Kurve (Ca) der Fläche. Wählt man demnach
diese Kurve als Kurve (A), dann erfüllen nach Nr. 33 die Ebenen
der logarithmischen Spiralen die Gl. (25), (26), (27) und man er-
hält die vorliegende Fläche als eine der durch die Kurve (A) be-
stimmten Flächen [P].
§8.
Rechtwinklige Koordinaten der Flächen [Pj.
35. Ist [P] eine Fläche, die durch Rotation einer logarith-
mischen Spirale um einen ihrer Radienvektoren entstanden ist
(Nr. 31), dann artet der Kegel [AJ in ein Ebenenbüschel aus. Die
Achse dieses Büschels kann anisotrop oder isotrop sein.
1 Die man nach Nr. 3 nur in anisotropen Ebenen definieren kann.
(A. 10) 3d
gonaltrajektorie der Ebenenschar, dann schließt nach (24) die
Schnittlinie s der Ebene (c, t) und der Ebene e einen für die ganze
Kurve (A) konstanten Winkel (s,r) = a mit r ein. (c,/) ist die Tan-
gentialebene von [F^ in P, und weil diese senkrecht zur Ebene
(r, s) steht, schneiden alle Kugeln um 0 die Fläche [F~\ unter
demselben konstanten Winkel rc/2-a; die Fläche [Fj ist eine
Fläche [PJ, die Behauptung zu Beginn dieser Nr. ist bewiesen.
Die Ebenen (25) umhüllen den zur Fläche gehörenden Kegel
[A]. Auch hier ist wieder, wie in Nr. 31, die Bestimmung der
Fläche [P] nicht eindeutig.
34. Im Anschluß an den Satz von Nr. 33 erkennt man un-
schwer :
Enthält eine Fläche [Fj ein System anisotroper ebener logarith-
mischer Spiralen1 mit gemeinsamem (eigentlichem) Pol 0 und gleichem
Schnittwinkel a und schneiden längs einer alle Spiralen treffenden
Kurve der Fläche die Tangentialebenen der Fläche die Radien-
vektoren aus 0 unter dem konstanten, von tt/2 verschiedenen Winkel a,
dann liegt eine Fläche [P] vor.
Denn bei der Kurve (A) am Schlüsse der Nr. 33 ist s die Ortho-
gonalprojektion von r in die Tangentialebene (s, c) und es ist der
Winkel (s,r) = a. Dasselbe gilt im Falle des soeben ausgesproche-
nen Satzes für die Tangenten s der logarithmischen Spiralen längs
der ausgezeichneten Kurve (Ca) der Fläche. Wählt man demnach
diese Kurve als Kurve (A), dann erfüllen nach Nr. 33 die Ebenen
der logarithmischen Spiralen die Gl. (25), (26), (27) und man er-
hält die vorliegende Fläche als eine der durch die Kurve (A) be-
stimmten Flächen [P].
§8.
Rechtwinklige Koordinaten der Flächen [Pj.
35. Ist [P] eine Fläche, die durch Rotation einer logarith-
mischen Spirale um einen ihrer Radienvektoren entstanden ist
(Nr. 31), dann artet der Kegel [AJ in ein Ebenenbüschel aus. Die
Achse dieses Büschels kann anisotrop oder isotrop sein.
1 Die man nach Nr. 3 nur in anisotropen Ebenen definieren kann.