Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 41
rechtwinkligen, räumlichen Koordinatensystems sei die Spitze O
des Kegels, der Pol der Fläche, gewählt. Sind £,??,£ die Koordi-
naten eines Punktes des Kegels, dann ist dessen Gleichung ge-
geben durch K(£/£, ??/£) = 0. Führt man hierin £/£ = u, rj/C = «i
ein und löst die Gleichung nach ur auf, dann ist ur — f(u) = 0 die
Gleichung des Kegels [A]. Dessen Tangentialebenen sind
(29) ar(u)x + y + bt(ujz = 0 ,
wobei
(30) «i (zz) = — /' (zz), b^u) = — f(u) + u • f'(u)
ist1.
Bezeichnet # den auf dem Kegel gemessenen Winkel, den
eine Erzeugende e mit der Anfangserzeugenden e0 bildet, die dem
Parameterwert u0 entspricht, d. h. die Bogenlänge der Schnitt-
kurve des Kegels [K] mit der Einheitskugel um 0 2 innerhalb der
Parametergrenzen u0 und zz, dann ist
(31)
v J v ' J l + u2 + f(u)2
«0
Führt man für die folgenden Betrachtungen abkürzend ein
m(u) = ]/l + ar (u)2 + b± (zz)2, zz(zz) = ]/l + u2 + /(zz)2
dann ist
u
/m(u) 7
—/M- du •
1 Man könnte auch von der Ebenenschar (Piiu) x + (p2 (u)y + <p3(u) z = 0
ausgehen, doch ist der hier gewählte Weg vom Kegel aus bequemer, weil die
Funktionen tp1} (p2, <p3 unnötig allgemein sind und man ihnen den Gl. (30) ent-
sprechende Bedingungen auferlegen kann, ohne die Allgemeinheit der Betrach-
tungen zu beschränken. Auf dem hier gewählten Wege sind die Orthogonal -
trajektorien der Ebenenschar (29) einfacher zu bestimmen.
2 Wobei wieder immer einer der beiden Schnittpunkte jeder Erzeugenden
mit der Kugel gewählt wird. Vgl. Nr. 32, Anm. 1.
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rechtwinkligen, räumlichen Koordinatensystems sei die Spitze O
des Kegels, der Pol der Fläche, gewählt. Sind £,??,£ die Koordi-
naten eines Punktes des Kegels, dann ist dessen Gleichung ge-
geben durch K(£/£, ??/£) = 0. Führt man hierin £/£ = u, rj/C = «i
ein und löst die Gleichung nach ur auf, dann ist ur — f(u) = 0 die
Gleichung des Kegels [A]. Dessen Tangentialebenen sind
(29) ar(u)x + y + bt(ujz = 0 ,
wobei
(30) «i (zz) = — /' (zz), b^u) = — f(u) + u • f'(u)
ist1.
Bezeichnet # den auf dem Kegel gemessenen Winkel, den
eine Erzeugende e mit der Anfangserzeugenden e0 bildet, die dem
Parameterwert u0 entspricht, d. h. die Bogenlänge der Schnitt-
kurve des Kegels [K] mit der Einheitskugel um 0 2 innerhalb der
Parametergrenzen u0 und zz, dann ist
(31)
v J v ' J l + u2 + f(u)2
«0
Führt man für die folgenden Betrachtungen abkürzend ein
m(u) = ]/l + ar (u)2 + b± (zz)2, zz(zz) = ]/l + u2 + /(zz)2
dann ist
u
/m(u) 7
—/M- du •
1 Man könnte auch von der Ebenenschar (Piiu) x + (p2 (u)y + <p3(u) z = 0
ausgehen, doch ist der hier gewählte Weg vom Kegel aus bequemer, weil die
Funktionen tp1} (p2, <p3 unnötig allgemein sind und man ihnen den Gl. (30) ent-
sprechende Bedingungen auferlegen kann, ohne die Allgemeinheit der Betrach-
tungen zu beschränken. Auf dem hier gewählten Wege sind die Orthogonal -
trajektorien der Ebenenschar (29) einfacher zu bestimmen.
2 Wobei wieder immer einer der beiden Schnittpunkte jeder Erzeugenden
mit der Kugel gewählt wird. Vgl. Nr. 32, Anm. 1.