Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 45
steckt die willkürliche Funktion /(zz) darin, die von der Wahl des
Kegels abhängt. Der Winkel a muß VI und V2 genügen.
Es müssen hier die in dem Satze von Nr. 30 eingeführten
Voraussetzungen erfüllt sein, welche mit den Ungl. (7) von Nr. 18
zusammenfallen. Vor den näheren Betrachtungen hierüber sei
noch die Bemerkung eingeschaltet, daß, wie man durch eine ein-
fache Rechnung bestätigt, die Funktionen x(u^v), y(u,v), z(u,v)
der Gl. (37) die Gl. (8), (9), (15), (16) der Nr. 18 und 19 erfüllen,
woraus sich im Anschluß an den letzten Satz von Nr. 19 ergibt,
daß hier dieselbe Parameter dar Stellung der Flächen [P] wie in § 5
vorliegt.
40. Nach Nr. 30 müssen zunächst alle Ebenen der Schar (29)
anisotrop sein, d.h. es muß stets m =f=0 sein. Durch F4 ist außer-
dem n^O gefordert. Diese Eigenschaften der Funktion /(zz) vor-
ausgesetzt, sind nur noch die singulären Punkte der Bahnkurven,
d. h. der sphärischen Krümmungslinien auszuschließen. Diese mö-
gen näher betrachtet werden:
Sind x(u), y(u), z(u) die laufenden Koordinaten einer Ortho-
gonaltrajektorie der Ebenenschar
(38) (px[u)x + (py(^)y + (pz[u)z = ,
so ist zunächst
(39) Z (px(u) • x(u) = 0 V
Hieraus erhält man durch Differentiation
(40) S[(px(u) • x(uy\ + 2[<px(u) • /(w)] = 0 .
Ist nun ein Punkt der Orthogonaltrajektorie singulär und
der zugehörige Parameterwert, demnach
x («i) = y (wi) =z M = 0 ’
dann ist wegen (40):
(41) £ * «(»i)] = 0 ,
1 Die Summationen, erstrecken sich wieder über die drei Koordinaten.
(A. 10) 45
steckt die willkürliche Funktion /(zz) darin, die von der Wahl des
Kegels abhängt. Der Winkel a muß VI und V2 genügen.
Es müssen hier die in dem Satze von Nr. 30 eingeführten
Voraussetzungen erfüllt sein, welche mit den Ungl. (7) von Nr. 18
zusammenfallen. Vor den näheren Betrachtungen hierüber sei
noch die Bemerkung eingeschaltet, daß, wie man durch eine ein-
fache Rechnung bestätigt, die Funktionen x(u^v), y(u,v), z(u,v)
der Gl. (37) die Gl. (8), (9), (15), (16) der Nr. 18 und 19 erfüllen,
woraus sich im Anschluß an den letzten Satz von Nr. 19 ergibt,
daß hier dieselbe Parameter dar Stellung der Flächen [P] wie in § 5
vorliegt.
40. Nach Nr. 30 müssen zunächst alle Ebenen der Schar (29)
anisotrop sein, d.h. es muß stets m =f=0 sein. Durch F4 ist außer-
dem n^O gefordert. Diese Eigenschaften der Funktion /(zz) vor-
ausgesetzt, sind nur noch die singulären Punkte der Bahnkurven,
d. h. der sphärischen Krümmungslinien auszuschließen. Diese mö-
gen näher betrachtet werden:
Sind x(u), y(u), z(u) die laufenden Koordinaten einer Ortho-
gonaltrajektorie der Ebenenschar
(38) (px[u)x + (py(^)y + (pz[u)z = ,
so ist zunächst
(39) Z (px(u) • x(u) = 0 V
Hieraus erhält man durch Differentiation
(40) S[(px(u) • x(uy\ + 2[<px(u) • /(w)] = 0 .
Ist nun ein Punkt der Orthogonaltrajektorie singulär und
der zugehörige Parameterwert, demnach
x («i) = y (wi) =z M = 0 ’
dann ist wegen (40):
(41) £ * «(»i)] = 0 ,
1 Die Summationen, erstrecken sich wieder über die drei Koordinaten.