Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 47
Krümmungslinien der Fläche [P] mit den Berührungserzeugenden
ihrer Ebene zu singulären Punkten der sphärischen Krümmungslinien
führen.
41. Die einzigen Bedingungen, denen demnach der Kegel
[X] und damit die (eindeutige, analytische) Funktion /(w) der
Nr. 36 unterworfen ist, folgen aus dem Ausschluß isotroper Er-
zeugender und isotroper und singulärer Tangentialebenen des Ke-
gels. Im übrigen ist u in den Gleichungen (37) innerhalb des De-
finitionsbereiches von f(u) unbeschränkt variabel. Dies liefert für
[X] als letzte Bedingung die
Einschränkende Voraussetzung 5: Keine Tangentialebene
von [X] ist singulär.
[A] bezeichnet demnach irgendeinen Kegel mit der eigent-
lichen Spitze (9, der keine isotrope Erzeugende (F4) und keine
isotrope (Nr. 29) oder singuläre Tangentialebene besitzt.
Der Parameter v darf nach Nr. 9 und 16 nur endliche, von
— 1/cosa verschiedene Werte annehmen. Die nach dem Schlüsse
von Nr. 40 notwendige Ausschließung der Schnittpunkte der loga-
rithmischen Krümmungslinien mit den Berührungserzeugenden
ihrer Ebenen führt zu einer weiteren Beschränkung der v-Werte,
die sich unschwer angeben läßt:
Es soll wieder das bewegliche ZT-Koordinatensystem der
Nr. 37 gewählt werden. Trifft die logarithmische Spirale in der
Anfangs-Tangentialebene die zugehörige Berührungserzeugende eQ
in einem Punkte mit der Z-Koordinate e0 \ dann muß nach
Nr. 38 wegen ro = O die Spirale (L) in einer beliebigen Tangential-
ebene e durch den Punkt C mit den Koordinaten
a = c0 • cos b (n), r = Cq • sin b (uf)
hindurchgehen. Setzt man wieder cotga = a, dann ist nach Nr. 6
die Gleichung von (L):
, . ai+l . ai—1
r(<j+fT)e1 2 [(<7-fr)e 2^] 2 =0.
1 In der Parameterdarstellung der Nr. 9 trifft die Spirale die X-Achse
im Punkte x = c0 •
(A. 10) 47
Krümmungslinien der Fläche [P] mit den Berührungserzeugenden
ihrer Ebene zu singulären Punkten der sphärischen Krümmungslinien
führen.
41. Die einzigen Bedingungen, denen demnach der Kegel
[X] und damit die (eindeutige, analytische) Funktion /(w) der
Nr. 36 unterworfen ist, folgen aus dem Ausschluß isotroper Er-
zeugender und isotroper und singulärer Tangentialebenen des Ke-
gels. Im übrigen ist u in den Gleichungen (37) innerhalb des De-
finitionsbereiches von f(u) unbeschränkt variabel. Dies liefert für
[X] als letzte Bedingung die
Einschränkende Voraussetzung 5: Keine Tangentialebene
von [X] ist singulär.
[A] bezeichnet demnach irgendeinen Kegel mit der eigent-
lichen Spitze (9, der keine isotrope Erzeugende (F4) und keine
isotrope (Nr. 29) oder singuläre Tangentialebene besitzt.
Der Parameter v darf nach Nr. 9 und 16 nur endliche, von
— 1/cosa verschiedene Werte annehmen. Die nach dem Schlüsse
von Nr. 40 notwendige Ausschließung der Schnittpunkte der loga-
rithmischen Krümmungslinien mit den Berührungserzeugenden
ihrer Ebenen führt zu einer weiteren Beschränkung der v-Werte,
die sich unschwer angeben läßt:
Es soll wieder das bewegliche ZT-Koordinatensystem der
Nr. 37 gewählt werden. Trifft die logarithmische Spirale in der
Anfangs-Tangentialebene die zugehörige Berührungserzeugende eQ
in einem Punkte mit der Z-Koordinate e0 \ dann muß nach
Nr. 38 wegen ro = O die Spirale (L) in einer beliebigen Tangential-
ebene e durch den Punkt C mit den Koordinaten
a = c0 • cos b (n), r = Cq • sin b (uf)
hindurchgehen. Setzt man wieder cotga = a, dann ist nach Nr. 6
die Gleichung von (L):
, . ai+l . ai—1
r(<j+fT)e1 2 [(<7-fr)e 2^] 2 =0.
1 In der Parameterdarstellung der Nr. 9 trifft die Spirale die X-Achse
im Punkte x = c0 •