Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 49
Die Kurve (5) gehört nach Nr. 41 nicht zur Fläche [P] \ doch
ist sie nach Nr. 40 eindeutig durch diese bestimmt. Faßt man (5)
mit der Fläche [P] zusammen, oder läßt man, was dasselbe ist,
die Beschränkung der Gl. (44) für die Gl. (37) fallen, während die
sonstigen Beschränkungen der Nr. 41 erhalten bleiben, dann stellen
die Gl. (37) eine Fläche [G] dar, welche aus der Fläche [P] und
der Kurve (5) besteht.
In jedem Punkte von (5) ist nach Nr. 40 für die Fläche [G]:
(45) = Vu = = 0 ,
demnach werden die Richtungen der Normalen von [G] in den
Punkten von (5) unbestimmt. In Nr. 50 wird gezeigt werden, daß
für jeden Punkt von (5) der eine Hauptkrümmungsradius von
[G] 0 wird, (5) ist stationäre Kurve von [G]. Da (45) für eine
stationäre Kurve notwendig ist, folgt aus Nr. 40, daß [G] keine
stationäre Kurve außer (5) enthält.
§9.
Algebraische Flächen [P].
43. Ist eine Fläche [P] reell, dann hat sie reelle Krümmungs-
linien. Die Krümmungslinien des einen Systems, reelle logarith-
mische Spiralen, liegen in reellen Ebenen1 2. Nach Nr. 29 entsteht
demnach eine reelle Fläche [P] durch Rollen einer reellen loga-
rithmischen Spirale auf einem reellen Kegel. Jede Spiralenebene
trifft eine solche Fläche in der reellen logarithmischen Spirale,
also in einer transzendenten Kurve, und einer Restkurve. Die
reellen Flächen [P] sind demnach transzendent; sie nähern sich un-
begrenzt ihrem reellen Pol O3. Jede reelle Gerade durch O, welche
die Fläche außerhalb O reell trifft, wie überhaupt jede reelle Ge-
rade in einer reellen Tangentialebene des Kegels [ä], trifft die
1 Trotzdem kann [A] Punkte von [P] enthalten, nämlich wenn Er-
zeugende von [A] vorhanden sind, die gleichzeitig in den Tangentialebenen
von andern Erzeugenden liegen.
2 Da eine imaginäre Ebene keine reelle Kurve als eine Gerade ent-
halten kann.
3 Reell als Schnittpunkt der reellen Spiralebenen.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Akad., math.-naturw. Kl. A. 1921. 10. Abh. 4
(A. 10) 49
Die Kurve (5) gehört nach Nr. 41 nicht zur Fläche [P] \ doch
ist sie nach Nr. 40 eindeutig durch diese bestimmt. Faßt man (5)
mit der Fläche [P] zusammen, oder läßt man, was dasselbe ist,
die Beschränkung der Gl. (44) für die Gl. (37) fallen, während die
sonstigen Beschränkungen der Nr. 41 erhalten bleiben, dann stellen
die Gl. (37) eine Fläche [G] dar, welche aus der Fläche [P] und
der Kurve (5) besteht.
In jedem Punkte von (5) ist nach Nr. 40 für die Fläche [G]:
(45) = Vu = = 0 ,
demnach werden die Richtungen der Normalen von [G] in den
Punkten von (5) unbestimmt. In Nr. 50 wird gezeigt werden, daß
für jeden Punkt von (5) der eine Hauptkrümmungsradius von
[G] 0 wird, (5) ist stationäre Kurve von [G]. Da (45) für eine
stationäre Kurve notwendig ist, folgt aus Nr. 40, daß [G] keine
stationäre Kurve außer (5) enthält.
§9.
Algebraische Flächen [P].
43. Ist eine Fläche [P] reell, dann hat sie reelle Krümmungs-
linien. Die Krümmungslinien des einen Systems, reelle logarith-
mische Spiralen, liegen in reellen Ebenen1 2. Nach Nr. 29 entsteht
demnach eine reelle Fläche [P] durch Rollen einer reellen loga-
rithmischen Spirale auf einem reellen Kegel. Jede Spiralenebene
trifft eine solche Fläche in der reellen logarithmischen Spirale,
also in einer transzendenten Kurve, und einer Restkurve. Die
reellen Flächen [P] sind demnach transzendent; sie nähern sich un-
begrenzt ihrem reellen Pol O3. Jede reelle Gerade durch O, welche
die Fläche außerhalb O reell trifft, wie überhaupt jede reelle Ge-
rade in einer reellen Tangentialebene des Kegels [ä], trifft die
1 Trotzdem kann [A] Punkte von [P] enthalten, nämlich wenn Er-
zeugende von [A] vorhanden sind, die gleichzeitig in den Tangentialebenen
von andern Erzeugenden liegen.
2 Da eine imaginäre Ebene keine reelle Kurve als eine Gerade ent-
halten kann.
3 Reell als Schnittpunkt der reellen Spiralebenen.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Akad., math.-naturw. Kl. A. 1921. 10. Abh. 4