50 (A. 10)
Richard Baldus:
Fläche in einer abzählbar unendlichen Menge von reellen Punkten,
während die Zahl der Schnittpunkte andrer Gerader mit der
Fläche von den speziellen Eigenschaften des Kegels [X] abhängt.
44. Im Gegensätze zum Falle der reellen Flächen [P] ist der
transzendente Charakter der imaginären Flächen [P] nicht ge-
sichert. Nach Nr. 7 gibt es imaginäre, algebraische logarithmi-
sche Spiralen. Hier ist
m, n = ±1, ±2,... .
Die in Nr. 43 angewendete Schluß weise, welche die reellen
Flächen [PJ als transzendent erkennen ließ, behält ihre Gültigkeit
auch bei den komplexen Flächen [P], abgesehen vom Falle der
GL (46). Hier können algebraische Flächen [P] auftreten. Ist eine
Fläche [P] algebraisch, dann wird sie von jeder Kugel um 0 in
einer algebraischen Kurve getroffen, für sie sind also beide Sy-
steme von Krümmungslinien algebraisch.
Sind umgekehrt bei einer Fläche [P] beide Systeme von
Krümmungslinien algebraisch, so muß zunächst die Gl. (46) erfüllt
sein. Die Koordinaten einer der (anisotropen) sphärischen Krüm-
mungslinien seien
(47) ^ = <??1(w), rj=cp2(u), C = <p3(ii),
3
2 Ti (W)2 = COnSt + 0 ,
i=l
wobei die <^(w) algebraische Funktionen von u sind1. Die Tan-
gentialebenen des Kegels [ä] der Fläche sind
x • (p{ (u) + y • 9?' (u) + z • 923 (w) = 0 .
Dabei sind auch die (u) algebraische Funktionen von u.
Die logarithmischen Krümmungslinien mit der in Nr. 7 an-
gegebenen algebraischen Gleichung lassen sich in folgender Para-
meterform darstellen:
1 D. h. es gibt für jedes i eine in und u ganze rationale Gleichung
fi(<Pi,u) = 0.
(46)
m
cotga = — • i
n
Richard Baldus:
Fläche in einer abzählbar unendlichen Menge von reellen Punkten,
während die Zahl der Schnittpunkte andrer Gerader mit der
Fläche von den speziellen Eigenschaften des Kegels [X] abhängt.
44. Im Gegensätze zum Falle der reellen Flächen [P] ist der
transzendente Charakter der imaginären Flächen [P] nicht ge-
sichert. Nach Nr. 7 gibt es imaginäre, algebraische logarithmi-
sche Spiralen. Hier ist
m, n = ±1, ±2,... .
Die in Nr. 43 angewendete Schluß weise, welche die reellen
Flächen [PJ als transzendent erkennen ließ, behält ihre Gültigkeit
auch bei den komplexen Flächen [P], abgesehen vom Falle der
GL (46). Hier können algebraische Flächen [P] auftreten. Ist eine
Fläche [P] algebraisch, dann wird sie von jeder Kugel um 0 in
einer algebraischen Kurve getroffen, für sie sind also beide Sy-
steme von Krümmungslinien algebraisch.
Sind umgekehrt bei einer Fläche [P] beide Systeme von
Krümmungslinien algebraisch, so muß zunächst die Gl. (46) erfüllt
sein. Die Koordinaten einer der (anisotropen) sphärischen Krüm-
mungslinien seien
(47) ^ = <??1(w), rj=cp2(u), C = <p3(ii),
3
2 Ti (W)2 = COnSt + 0 ,
i=l
wobei die <^(w) algebraische Funktionen von u sind1. Die Tan-
gentialebenen des Kegels [ä] der Fläche sind
x • (p{ (u) + y • 9?' (u) + z • 923 (w) = 0 .
Dabei sind auch die (u) algebraische Funktionen von u.
Die logarithmischen Krümmungslinien mit der in Nr. 7 an-
gegebenen algebraischen Gleichung lassen sich in folgender Para-
meterform darstellen:
1 D. h. es gibt für jedes i eine in und u ganze rationale Gleichung
fi(<Pi,u) = 0.
(46)
m
cotga = — • i
n