Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 51
(48)
X = T • v p+q [(a;0 - iy0) + (xQ + iy^ z>] ,
_
y = i • P+q [(«0 - ^o) - (#o + ^o) • G
in der v den Parameter und xQ, y^ irgendeinen Punkt der Kurve
bezeichnet.
Führt man nun ein rechtwinkliges Koordinatensystem X,T, Z
mit dem Pol 0 der Fläche als Anfangspunkt ein, in dem die Gl.
(47) gelten, und für die Kurven (48) ein ebenes, rechtwinkliges
Koordinatensystem X1,Y1 mit demselben Anfangspunkte, dessen
Xi-Achse in der XF-Ebene liegt, dann gelten die Gleichungen
(49) xt = x- «i(w)+ y -a2(u), yr = x • ß^u) + y • ß2(u) + z • ß3(u)
und
(50) x = xt• at(u) + y1-ß1 (w), y = xra2(u)+yr ß2(u), z = yvß2(u)\
dabei ist
yi(^)2 + ^(^)2
N
aAu) = - —— , a21 u)
N ' N
N = ]/ {(p'M2+(p2(u)2) (^(w)2+992(h)2 + 923(u)2) .
Zu einem Parameterwert u gehört vermöge (47) ein Wertesystem
£(zz), ^(u), C(u). Will man nun die rechtwinkligen Koordinaten
eines Flächenpunktes mit den Parameterwerten u, v berechnen,
dann erhält man infolge der Gl. (49) im Koordinatensystem Xi,Fi
einen Punkt
x0 (u) = £(**)• «i («) + y (u) • a2 (ü)
7/o(^) = ^(^-^(u) + y(u)-ß2(u) + C(u)-/53(u)
der logarithmischen Krümmungslinie in der zum Parameterwert
u gehörenden Tangentialebene des Kegels [X]. Das Einsetzen
4*
(A. 10) 51
(48)
X = T • v p+q [(a;0 - iy0) + (xQ + iy^ z>] ,
_
y = i • P+q [(«0 - ^o) - (#o + ^o) • G
in der v den Parameter und xQ, y^ irgendeinen Punkt der Kurve
bezeichnet.
Führt man nun ein rechtwinkliges Koordinatensystem X,T, Z
mit dem Pol 0 der Fläche als Anfangspunkt ein, in dem die Gl.
(47) gelten, und für die Kurven (48) ein ebenes, rechtwinkliges
Koordinatensystem X1,Y1 mit demselben Anfangspunkte, dessen
Xi-Achse in der XF-Ebene liegt, dann gelten die Gleichungen
(49) xt = x- «i(w)+ y -a2(u), yr = x • ß^u) + y • ß2(u) + z • ß3(u)
und
(50) x = xt• at(u) + y1-ß1 (w), y = xra2(u)+yr ß2(u), z = yvß2(u)\
dabei ist
yi(^)2 + ^(^)2
N
aAu) = - —— , a21 u)
N ' N
N = ]/ {(p'M2+(p2(u)2) (^(w)2+992(h)2 + 923(u)2) .
Zu einem Parameterwert u gehört vermöge (47) ein Wertesystem
£(zz), ^(u), C(u). Will man nun die rechtwinkligen Koordinaten
eines Flächenpunktes mit den Parameterwerten u, v berechnen,
dann erhält man infolge der Gl. (49) im Koordinatensystem Xi,Fi
einen Punkt
x0 (u) = £(**)• «i («) + y (u) • a2 (ü)
7/o(^) = ^(^-^(u) + y(u)-ß2(u) + C(u)-/53(u)
der logarithmischen Krümmungslinie in der zum Parameterwert
u gehörenden Tangentialebene des Kegels [X]. Das Einsetzen
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