52 (A. 10)
Richard Baldus:
dieser Werte x0(u), yQ(u) in die Gl. (48) liefert die Parameterdar-
stellung dieser logarithmischen Krümmungslinie im Koordinaten-
system X±, Y1:
_p_
(M = i• v p+q [(a;0(zz) - iy0(uf) + (^o(w) + iyM) ,
_p_
yi^v) = i-v ^[(^o(w)-^oM-(^o^) + ^oMwJ-^
und hieraus folgt nach (50):
x (u, v) = xt (zz, v) • cq (u) + yr (zz, v) • ßt (zz) ,
(51) y (zz, v) = Xi (zz, zz) • a2 (zz) + yx (zz, v) • ß2 (zz) ,
2 (zz,zz) = ?/i(zz,zz) . ß3(u) .
45. Die Gl. (51) stellen in Parameterform die allgemeinste
Fläche [P] mit algebraischen Krümmungslinien beider Systeme
dar. Die Kurven u = const sind die logarithmischen Krümmungs-
linien, die Kurven z, = const vermöge der aus (48) folgenden Glei- <
chung
g-/>
z2 + z/2 = (4 + z/2) vq+p
die sphärischen Krümmungslinien. Da alle in (51) auftretenden
Funktionen algebraisch sind und nur eine sphärische Krümmungs-
linie benützt wurde, folgt hieraus, aus dem 2. Absätze von Nr. 44
und aus Gl. (46):
Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine
Fläche FP] algebraisch ist, besteht darin, daß eine sphärische Krüm-
mungslinie algebraisch ist und der konstante (anisotrope) Schnitt-
winkel a der Fläche die Gl. (46) erfüllt. Beide Scharen von Krüm-
mungslinien einer solchen Fläche sind algebraisch. *
Es gibt keine reellen algebraischen Flächen [P].
Wählt man in Nr. 35 als logarithmische Spirale die Parabel
der Nr. 7, dann erhält man, je nachdem die Rotationsachse an-
isotrop oder isotrop ist, die beiden (imaginären) Drehflächen
(1 + 61 kz) (x2 + z/2 + z2) - 8 ikz3 - k2 (x2 + y2 + z2)2 = 0 ,
(x+ iyf - k (x2 + y2 + z2)2 = 0 ,
Richard Baldus:
dieser Werte x0(u), yQ(u) in die Gl. (48) liefert die Parameterdar-
stellung dieser logarithmischen Krümmungslinie im Koordinaten-
system X±, Y1:
_p_
(M = i• v p+q [(a;0(zz) - iy0(uf) + (^o(w) + iyM) ,
_p_
yi^v) = i-v ^[(^o(w)-^oM-(^o^) + ^oMwJ-^
und hieraus folgt nach (50):
x (u, v) = xt (zz, v) • cq (u) + yr (zz, v) • ßt (zz) ,
(51) y (zz, v) = Xi (zz, zz) • a2 (zz) + yx (zz, v) • ß2 (zz) ,
2 (zz,zz) = ?/i(zz,zz) . ß3(u) .
45. Die Gl. (51) stellen in Parameterform die allgemeinste
Fläche [P] mit algebraischen Krümmungslinien beider Systeme
dar. Die Kurven u = const sind die logarithmischen Krümmungs-
linien, die Kurven z, = const vermöge der aus (48) folgenden Glei- <
chung
g-/>
z2 + z/2 = (4 + z/2) vq+p
die sphärischen Krümmungslinien. Da alle in (51) auftretenden
Funktionen algebraisch sind und nur eine sphärische Krümmungs-
linie benützt wurde, folgt hieraus, aus dem 2. Absätze von Nr. 44
und aus Gl. (46):
Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine
Fläche FP] algebraisch ist, besteht darin, daß eine sphärische Krüm-
mungslinie algebraisch ist und der konstante (anisotrope) Schnitt-
winkel a der Fläche die Gl. (46) erfüllt. Beide Scharen von Krüm-
mungslinien einer solchen Fläche sind algebraisch. *
Es gibt keine reellen algebraischen Flächen [P].
Wählt man in Nr. 35 als logarithmische Spirale die Parabel
der Nr. 7, dann erhält man, je nachdem die Rotationsachse an-
isotrop oder isotrop ist, die beiden (imaginären) Drehflächen
(1 + 61 kz) (x2 + z/2 + z2) - 8 ikz3 - k2 (x2 + y2 + z2)2 = 0 ,
(x+ iyf - k (x2 + y2 + z2)2 = 0 ,