Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 53
bei konjugiert komplexer isotroper Drehachse die Fläche
a;2 + y2 + z2 — k (x — iyf = 0 .
Diese drei Flächen 4. und 3. Ordnung enthalten je zwei Scha-
ren von Kegelschnitten und können nach Nr. 43 als einfachste
Flächen [P] betrachtet werden, weil sie unter diesen von den in
den Tangentialebenen des zugehörigen Kegels [K] liegenden Ge-
raden in der kleinsten Zahl von Punkten getroffen werden.
§ 10.
Von einer Fläche [PJ abgeleitete Flächen [Pj.
46. Führt ein geometrischer Prozeß in der Ebene eine an-
isotrope logarithmische Spirale (P) in eine andre anisotrope loga-
rithmische Spirale (Pt) mit demselben Pol über, dann entspricht
ihm ein räumlicher Prozeß, der jede Fläche [PJ in eine andre
Fläche [Pj mit dem nämlichen Kegel [ä] verwandelt; denn wäh-
rend [P] nach Nr. 29 durch Rollen von (P) auf dem Kegel [X]
entsteht, erzeugt die mit (P) in der gleichen Ebene liegende und
starr verbundene Spirale (Pj eine neue Fläche [Pj.
Dieser allgemeine Gedanke liefert in Verbindung mit bekann-
ten Eigenschaften der logarithmischen Spirale eine Reihe von
Sätzen über die Flächen [Pj, aus denen einige herausgegriffen
werden mögen:
Die Fußpunktkurve einer anisotropen logarithmischen Spirale
in bezug auf den Pol ist eine der ursprünglichen kongruente Spi-
rale mit demselben Pole; die zweite Spirale entsteht aus der ersten
durch eine Streckung von 0 aus mit dem Faktor1 sin a • e{n''2 ~ cotga,
wobei a der Schnittwinkel der Spirale ist. Berücksichtigt man,
daß nach Nr. 20 die Normale aus 0 auf die Tangentialebene eines
Punktes E einer Fläche [PJ in der Ebene der logarithmischen
Krümmungslinie des Punktes E liegt, dann folgt daraus:
Die Fußpunkte der Lote aus dem Pol 0 einer Fläche [P] auj
ihre Tangentialebenen bilden eine Fläche [Pj\ die aus der ursprüng-
lichen Fläche (mit dem Schnittwinkel a) durch eine Streckung von
0 aus mit dem Faktor sin a • e(jr/2-“),ootga entsteht.
1 D. h. durch eine Transformation der Ebene, bei der die rechtwinkligen
Koordinaten mit diesem Faktor multipliziert werden.
(A. 10) 53
bei konjugiert komplexer isotroper Drehachse die Fläche
a;2 + y2 + z2 — k (x — iyf = 0 .
Diese drei Flächen 4. und 3. Ordnung enthalten je zwei Scha-
ren von Kegelschnitten und können nach Nr. 43 als einfachste
Flächen [P] betrachtet werden, weil sie unter diesen von den in
den Tangentialebenen des zugehörigen Kegels [K] liegenden Ge-
raden in der kleinsten Zahl von Punkten getroffen werden.
§ 10.
Von einer Fläche [PJ abgeleitete Flächen [Pj.
46. Führt ein geometrischer Prozeß in der Ebene eine an-
isotrope logarithmische Spirale (P) in eine andre anisotrope loga-
rithmische Spirale (Pt) mit demselben Pol über, dann entspricht
ihm ein räumlicher Prozeß, der jede Fläche [PJ in eine andre
Fläche [Pj mit dem nämlichen Kegel [ä] verwandelt; denn wäh-
rend [P] nach Nr. 29 durch Rollen von (P) auf dem Kegel [X]
entsteht, erzeugt die mit (P) in der gleichen Ebene liegende und
starr verbundene Spirale (Pj eine neue Fläche [Pj.
Dieser allgemeine Gedanke liefert in Verbindung mit bekann-
ten Eigenschaften der logarithmischen Spirale eine Reihe von
Sätzen über die Flächen [Pj, aus denen einige herausgegriffen
werden mögen:
Die Fußpunktkurve einer anisotropen logarithmischen Spirale
in bezug auf den Pol ist eine der ursprünglichen kongruente Spi-
rale mit demselben Pole; die zweite Spirale entsteht aus der ersten
durch eine Streckung von 0 aus mit dem Faktor1 sin a • e{n''2 ~ cotga,
wobei a der Schnittwinkel der Spirale ist. Berücksichtigt man,
daß nach Nr. 20 die Normale aus 0 auf die Tangentialebene eines
Punktes E einer Fläche [PJ in der Ebene der logarithmischen
Krümmungslinie des Punktes E liegt, dann folgt daraus:
Die Fußpunkte der Lote aus dem Pol 0 einer Fläche [P] auj
ihre Tangentialebenen bilden eine Fläche [Pj\ die aus der ursprüng-
lichen Fläche (mit dem Schnittwinkel a) durch eine Streckung von
0 aus mit dem Faktor sin a • e(jr/2-“),ootga entsteht.
1 D. h. durch eine Transformation der Ebene, bei der die rechtwinkligen
Koordinaten mit diesem Faktor multipliziert werden.