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https://doi.org/10.11588/diglit.56264#0055
Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 55
Der eine Mantel der Zentrafläche einer Fläche [P] (mit dem
Schnittwinkel arccotgaj ist eine Fläche [P]t mit demselben Schnitt-
winkel, Pol und Kegel [X], die aus [P] durch eine Streckung von O
aus mit dem Faktor a-e~a'nli entsteht. Die Tangenten der logarith-
mischen Krümmungslinien von [P^ sind die Normalen von [P].
[Pji fällt im Falle der Gl. (52) mit [P] zusammen.
Fällt nicht [P]t mit [P] zusammen und ist [P]2 der ent-
sprechende Mantel der Zentrafläche von [P]n [P]3 der von [P]2,
usf., dann gelangt man bei der r-ten Zentrafläche wieder zu [P],
wenn lna/a ein reelles, rationales Vielfaches von n ist, wobei sich
r wie in Nr. 47 bestimmen läßt.
Da der eine Hauptkrümmungsradius in einem Punkt A von
[P] zugleich Krümmungsradius der Spirale durch diesen Punkt
ist, so ist nach bekannten Eigenschaften der logarithmischen Spi-
rale p1 = r/sina, wobei r der Radiusvektor OA ist. Längs jeder
sphärischen Krümmungslinie der Fläche ist demnach der eine
Krümmungsradius konstant, welcher der Fortschreitungsrichtung
in der Tangentialebene senkrecht zu dieser Krümmungslinie ent-
spricht.
49. Der andre Mantel der Zentrafläche von [Pj ist der Kegel
[K]. Dies erkennt man unter Verwendung der Gleichungen von
Nr. 18-20:
Die Gleichung einer Spiralenebene e eines Punktes P(u,v) der
Fläche ist
(21) ^^U(u,v) + r]-yu(u,v) + ^zu(u,v) = 0.
Die Berührungserzeugende e der Ebene e ist die Schnittlinie von
e. mit der Ebene
(53) S-x„{u,v) + v-y„{u,v) + ^zuu(u,v) = 0.
Die Flächennormale n in A ist
(A. 10) 55
Der eine Mantel der Zentrafläche einer Fläche [P] (mit dem
Schnittwinkel arccotgaj ist eine Fläche [P]t mit demselben Schnitt-
winkel, Pol und Kegel [X], die aus [P] durch eine Streckung von O
aus mit dem Faktor a-e~a'nli entsteht. Die Tangenten der logarith-
mischen Krümmungslinien von [P^ sind die Normalen von [P].
[Pji fällt im Falle der Gl. (52) mit [P] zusammen.
Fällt nicht [P]t mit [P] zusammen und ist [P]2 der ent-
sprechende Mantel der Zentrafläche von [P]n [P]3 der von [P]2,
usf., dann gelangt man bei der r-ten Zentrafläche wieder zu [P],
wenn lna/a ein reelles, rationales Vielfaches von n ist, wobei sich
r wie in Nr. 47 bestimmen läßt.
Da der eine Hauptkrümmungsradius in einem Punkt A von
[P] zugleich Krümmungsradius der Spirale durch diesen Punkt
ist, so ist nach bekannten Eigenschaften der logarithmischen Spi-
rale p1 = r/sina, wobei r der Radiusvektor OA ist. Längs jeder
sphärischen Krümmungslinie der Fläche ist demnach der eine
Krümmungsradius konstant, welcher der Fortschreitungsrichtung
in der Tangentialebene senkrecht zu dieser Krümmungslinie ent-
spricht.
49. Der andre Mantel der Zentrafläche von [Pj ist der Kegel
[K]. Dies erkennt man unter Verwendung der Gleichungen von
Nr. 18-20:
Die Gleichung einer Spiralenebene e eines Punktes P(u,v) der
Fläche ist
(21) ^^U(u,v) + r]-yu(u,v) + ^zu(u,v) = 0.
Die Berührungserzeugende e der Ebene e ist die Schnittlinie von
e. mit der Ebene
(53) S-x„{u,v) + v-y„{u,v) + ^zuu(u,v) = 0.
Die Flächennormale n in A ist